4、预测模型构建：如何从物理机理或系统辨识建立线性状态空间模型，并转换为离散时间模型用于预测

预测控制的核心竞争力在于“基于模型预见未来”。模型的质量直接决定了MPC控制性能的上限——一个粗糙的模型即使配上再优秀的优化求解器，也无法产生高质量的预测序列。本章聚焦于预测模型的构建主线：首先从物理机理出发推导连续时间状态空间模型，再引入系统辨识方法处理“黑箱”或“灰箱”场景，最后完成从连续时间到离散时间模型的转换，为后续预测时域内的多步递推奠定数学基础。

4.1 从物理机理推导连续时间状态空间模型

核心原理：物理机理建模（又称“白箱建模”）基于系统内在的物理规律，如牛顿第二定律、基尔霍夫电压/电流定律、热力学第一定律、流体连续性方程等，推导出描述系统动态的微分方程或传递函数，进而转化为状态空间形式。状态空间模型的标准连续时间表达式为：

dx/dt = A_c·x(t) + B_c·u(t)
y(t) = C_c·x(t) + D_c·u(t)

其中，x(t)∈Rⁿ为状态向量，u(t)∈Rᵐ为输入向量，y(t)∈Rᵖ为输出向量。A_c为系统矩阵（描述状态间的动态耦合），B_c为输入矩阵（描述输入如何影响状态变化率），C_c为输出矩阵（描述状态到输出的映射），D_c为前馈矩阵（通常为0）。

操作流程：从物理机理建立状态空间模型通常遵循以下步骤：

1. 定义系统边界与变量：明确被控对象、执行器、传感器位置，确定输入变量（如电压、流量、力）、输出变量（如温度、位置、转速）和内部状态变量（如电流、速度、压力）。
2. 列写基本方程：根据物理定律写出微分方程或代数方程。例如，直流电机可写出电枢回路方程 L·di/dt = -R·i - K_e·ω + V 和机械转动方程 J·dω/dt = K_t·i - B·ω - T_L。
3. 选择状态变量：状态变量应能完全描述系统内部动态，通常选择储能元件的物理量（电容电压、电感电流、质量速度等）。
4. 整理为矩阵形式：将微分方程联立，消去中间变量，整理成 dx/dt = A_c·x + B_c·u 的标准形式。
5. 确定输出方程：根据传感器测量位置，写出 y = C_c·x + D_c·u。

A_c = [[0, 1, 0],
       [0, -B/J, K_t/J],
       [0, -K_e/L, -R/L]]
B_c = [0, 0, 1/L]ᵀ
C_c = [1, 0, 0]

4.2 系统辨识：从实验数据提取离散模型

核心原理：当物理机理过于复杂或未知时，系统辨识提供了一条“数据驱动”的建模路径。其基本思想是：对系统施加激励信号（如PRBS、 chirp信号），采集输入输出数据，通过优化算法拟合出最匹配的模型参数。对于MPC应用，最常用的是子空间辨识方法（如N4SID、MOESP）和预测误差法（PEM）。子空间法直接由输入输出数据矩阵的QR分解和SVD分解得到状态空间模型，无需参数化迭代，计算效率高，适合多变量系统。

操作流程：

1. 实验设计：选择激励信号，保证信号充分激励系统的所有模态。PRBS信号的幅值应覆盖工作点附近线性区域，频率范围应包含系统带宽。
2. 数据采集与预处理：以合适采样周期采集数据，去除直流分量、趋势项和异常值，必要时进行滤波。
3. 模型阶次确定：通过SVD奇异值谱或AIC准则确定系统阶次 n。
4. 辨识计算：使用MATLAB的 n4sid 或Python的 sippy 库直接得到离散状态空间模型 (A_d, B_d, C_d, D_d)。
5. 模型验证：用独立验证数据集计算拟合度（如 R²、残差白噪声检验），若不合格则调整阶次或激励信号。

4.3 连续时间模型到离散时间模型的转换

核心原理：MPC运行在数字控制器中，必须在离散时间域进行预测。连续时间模型 (A_c, B_c, C_c, D_c) 需转换为离散时间模型 (A_d, B_d, C_d, D_d)，使得在采样周期 T_s 下，x(k+1) = A_d·x(k) + B_d·u(k) 精确描述采样时刻的状态演化。最常用的方法是零阶保持（ZOH），即假设输入 u(t) 在每个采样周期内保持恒定（由DAC的保持特性自然满足）。

数学转换公式：

A_d = e^(A_c·T_s)
B_d = ∫₀^{T_s} e^(A_c·τ) dτ · B_c
C_d = C_c
D_d = D_c

其中矩阵指数 e^(A_c·T_s) 可通过MATLAB的 c2d 函数、Python的 scipy.signal.cont2discrete 或级数展开计算。当采样周期远小于系统最小时间常数时，也可用近似公式 A_d ≈ I + A_c·T_s，但精度较低。

操作流程：

1. 选择采样周期：根据系统带宽和MPC预测时域要求，通常取 T_s 为系统上升时间的1/10~1/20，或满足 ω_n·T_s < 0.3（ω_n为自然频率）。
2. 计算矩阵指数：使用数值稳定的方法（如Padé近似或缩放-平方方法）计算 e^(A_c·T_s)。
3. 计算输入矩阵：通过积分或增广矩阵法计算 B_d。增广法构造分块矩阵 [[A_c, B_c],[0,0]] 的指数，取右上块即为 B_d。
4. 验证离散模型：对比连续模型和离散模型的阶跃响应，确保在采样点处一致。

A_d = e^(-0.1) = 0.9048
B_d = ∫₀^{0.1} e^(-τ) dτ = 1 - e^(-0.1) = 0.0952
C_d = 1, D_d = 0

4.4 模型验证与闭环仿真校验

核心原理：无论通过何种途径获得的模型，在用于MPC之前必须经过严格验证。验证分为开环验证和闭环验证。开环验证关注模型预测输出与实际输出的拟合度；闭环验证则关注在MPC控制下，模型失配是否导致性能下降或失稳。

验证指标：

• 拟合度（R²）： R² = 1 - Σ(y_meas - y_pred)² / Σ(y_meas - y_mean)²，通常要求 > 85%。
• 残差白噪声检验：残差序列的自相关函数应在置信区间内，否则说明模型未完全捕捉系统动态。
• 预测误差均方根（RMSE）：评估多步预测精度，MPC通常关注未来 N_p 步内的累积误差。

操作流程：

1. 使用独立数据集（非辨识数据）进行开环仿真，计算拟合度。
2. 在仿真环境中搭建MPC控制器，施加典型参考轨迹（阶跃、斜坡、正弦），观察控制量和输出响应。
3. 进行鲁棒性测试：在模型参数上叠加±20%摄动，检查闭环稳定性。
4. 若性能不达标，返回修正模型结构或重新辨识。