数学预备：复数、线性代数、希尔伯特空间、算符与态矢量的基本运算

量子光学与经典光学最本质的区别，在于它用概率幅（而非强度）描述光场，用算符（而非函数）描述物理量，用希尔伯特空间（而非三维欧氏空间）承载量子态。初学者往往在物理图像尚未建立时，先被数学符号绊倒。本章的目的不是系统重讲线性代数，而是围绕量子光学中最常出现的数学对象——复数、内积空间、算符、本征问题与态矢量运算——做一次“够用且准确”的梳理，并指出那些容易出错却常被忽略的细节。

2.1 复数：量子力学的“相位语言”

量子光学中，几乎所有物理量最终都归结为复数的运算。光场的经典描述用实电场 E(t)，而量子描述则用复振幅算符 â。复数在这里不是数学技巧，而是物理本质——它同时携带振幅和相位信息，而相位正是干涉、拍频、量子相干性的来源。

核心原理：相位因子与概率幅

一个量子态 |ψ⟩ 乘以全局相位因子 e^{iθ} 后，物理上不可区分（因为 ⟨ψ|ψ⟩ 不变，所有测量概率 |⟨a|ψ⟩|² 也不变）。但相对相位却至关重要：叠加态 |ψ⟩ = (|0⟩ + e^{iφ}|1⟩)/√2 中，φ 直接决定干涉条纹的位置。在量子光学中，这个 φ 往往对应光场的传播相位 kx - ωt，或由分束器、波片引入的固定相移。

判断方法：何时必须保留复数？

初学者常试图用实数替代复数，但以下场景必须显式使用复数：

1. 干涉计算：两束光叠加时，强度 I = |E₁ + E₂|²，交叉项 2Re(E₁*E₂) 包含相位差信息，若只用实数会丢失符号信息。
2. 算符本征值：光子数算符 n̂ 的本征值是实数（0,1,2,...），但产生算符 ↠的本征值不存在（非 Hermite），而湮灭算符 â 的本征值 α 是复数（相干态 |α⟩ 的本征值）。
3. 时间演化：e^{-iĤt/ℏ} 作用于态矢量时，相位因子必须为复数才能正确描述振荡。

案例拆解：相干态的复数振幅

相干态 |α⟩ 是量子光学最常用的态，其中 α = |α|e^{iθ} 是复数。|α|² 等于平均光子数 ⟨n⟩，θ 对应光场的相位。当相干态通过一个相移器（如光学延迟线）时，α → αe^{iφ}。若用实数表示，则无法区分“振幅增大”和“相位旋转”——这正是复数不可替代的原因。

2.2 线性代数与希尔伯特空间：从有限维到无限维

量子光学的态空间通常是无限维的（Fock 空间），但许多核心概念可以从有限维类比而来。理解有限维线性代数与无限维希尔伯特空间的联系与区别，是避免“维度灾难”的第一步。

核心原理：内积与完备性

希尔伯特空间 ℋ 是完备的内积空间。完备性意味着任何 Cauchy 序列都收敛于空间内的一个元素——这保证了态矢量的极限仍然合法。在量子光学中，我们常用两组基：

• Fock 基（光子数基）：|n⟩，n = 0,1,2,...，满足 ⟨m|n⟩ = δₘₙ，完备性 ∑|n⟩⟨n| = I
• 连续变量基（正交振幅/相位基）：|x⟩，x ∈ ℝ，满足 ⟨x|x'⟩ = δ(x-x')，完备性 ∫|x⟩⟨x|dx = I

注意：连续基的归一化用到 Dirac δ 函数，这是无限维空间特有的“广义函数”归一化，与有限维的 Kronecker δ 不同。

操作流程：态矢量的分解与重构

1. 给定一个态 |ψ⟩，选择一组完备基 {|eᵢ⟩}
2. 计算展开系数 cᵢ = ⟨eᵢ|ψ⟩（内积）
3. 验证归一化：∑|cᵢ|² = 1（离散基）或 ∫|c(x)|²dx = 1（连续基）
4. 重构：|ψ⟩ = ∑cᵢ|eᵢ⟩ 或 |ψ⟩ = ∫c(x)|x⟩dx

案例拆解：单光子态的两种表示

考虑一个单光子态 |1⟩。在 Fock 基下，它就是一个基矢；但在连续变量基下，它表示为 |1⟩ = ∫ψ₁(x)|x⟩dx，其中 ψ₁(x) = ⟨x|1⟩ 是 Hermite-Gauss 函数。这个波函数是实函数，但一般量子态的波函数是复函数。初学者常误以为“波函数必须是实的”——实际上，只有驻波或特定本征态才可能是实的，一般叠加态的波函数是复的。

2.3 算符与态矢量的基本运算

算符是量子光学的“动词”——它们描述物理过程：产生、湮灭、相移、压缩、测量。掌握算符的代数规则（对易子、共轭、函数）是进行任何量子光学计算的前提。

核心原理：产生与湮灭算符

定义 â|n⟩ = √n|n-1⟩（湮灭），â†|n⟩ = √(n+1)|n+1⟩（产生）。它们满足基本对易关系 [â, â†] = â↠- â†â = 1。由此可导出光子数算符 n̂ = â†â，其本征值为 n。这些算符不是 Hermite 的（↠≠ â），因此它们没有物理可观测量的直接对应，但它们的组合（如正交分量 X̂ = (â+â†)/2, P̂ = (â-â†)/(2i)）是 Hermite 的，对应平衡零差探测的测量量。

操作流程：算符函数的计算

计算 f(â, â†) 时，最常见的操作是正规排序（normal ordering）和反正规排序。例如，e^{λâ†â} 作用于 Fock 态时，可直接给出 e^{λn}|n⟩。但对于更复杂的函数，如 e^{ξ↲ - ξ*â²}（压缩算符），需要利用 Baker-Campbell-Hausdorff 公式分解。

# 伪代码：计算压缩真空态 |ξ⟩ = S(ξ)|0⟩ 的前几个 Fock 系数
import numpy as np
from scipy.special import factorial

def squeezed_vacuum_coeffs(xi, N=10):
    """返回压缩真空态在 Fock 基下的系数 c_n = ⟨n|ξ⟩"""
    r = np.abs(xi)
    phi = np.angle(xi)
    c = np.zeros(N+1, dtype=complex)
    for n in range(0, N+1, 2):  # 只有偶数光子数
        c[n] = np.sqrt(factorial(n)) / factorial(n//2) * \
               (-np.exp(1j*phi) * np.tanh(r))** (n//2) / np.sqrt(np.cosh(r))
    return c

# 示例：ξ = 0.5（实数），截断 N=10
xi = 0.5
coeffs = squeezed_vacuum_coeffs(xi, N=10)
print("|c_0|² =", abs(coeffs[0])**2)  # 真空分量
print("|c_2|² =", abs(coeffs[2])**2)  # 双光子分量

案例拆解：分束器的算符描述

一个 50:50 分束器将两个输入模式 â₁, â₂ 变换为输出模式 b̂₁ = (â₁ + iâ₂)/√2, b̂₂ = (iâ₁ + â₂)/√2。这个变换是幺正的（保持对易关系），可以用矩阵 U = (1/√2)[[1, i], [i, 1]] 表示。若输入为 |1⟩₁|0⟩₂（一个光子进入端口1），则输出为 (|1⟩₁|0⟩₂ + i|0⟩₁|1⟩₂)/√2——这正是 Hong-Ou-Mandel 干涉的基础。初学者常犯的错误是忘记 i 因子，导致输出态未归一化或干涉项符号错误。

常见误区与总结复盘