衍射光学基础：标量衍射理论、衍射效率与相位函数

衍射光学元件（DOE）的设计本质上是“反向光传播”问题：给定目标光场分布，求解所需的微结构相位分布。要完成这一求解，必须先建立正向的光场传播模型。在绝大多数工程场景中，我们采用标量衍射理论——即忽略光的偏振矢量特性，将光视为标量复振幅场。本章将系统梳理菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射的适用边界、衍射效率的定义与计算方法、相位函数与振幅透过率之间的数学关系，并厘清相位台阶、量化级数、周期、微结构等关键术语。这些概念是后续所有设计案例（分束、整形、聚焦）的共同语言。

上图给出了本章的核心逻辑框架：输入光场经过 DOE 的相位调制后，在特定传播距离处形成目标光场。衍射效率、相位函数和关键术语三者相互关联，共同决定了 DOE 的性能边界。下面逐一展开。

2.1 标量衍射理论：菲涅尔与夫琅禾费

核心原理：标量衍射理论将光场视为复标量函数 U(x,y,z)，忽略偏振分量之间的耦合。其数学基础是亥姆霍兹方程的近似解。根据观察平面与衍射屏的距离 z 以及衍射孔径的特征尺寸 D，我们选用不同精度的近似模型。

• 菲涅尔衍射（近场）：适用于中等距离，保留二次相位因子。其卷积形式为 U₂(u,v) = (e^{ikz}/iλz) ∬ U₁(x,y) exp{ik[(u-x)²+(v-y)²]/2z} dxdy。计算量较大，但精度高。
• 夫琅禾费衍射（远场）：当 z >> D²/λ 时，二次相位因子近似为线性相位，衍射场退化为 U₁ 的傅里叶变换。此时光强分布与传播距离 z 呈缩放关系，角度分布固定。

判断方法：工程上常用菲涅尔数 F = D²/(λz) 来快速判断。若 F << 1，采用夫琅禾费模型；若 F ≈ 1 或更大，则必须使用菲涅尔模型。例如，一个 1mm 口径的 DOE，波长 633nm，当 z = 1m 时，F = (10⁻³)²/(633×10⁻⁹ × 1) ≈ 1.58，此时夫琅禾费近似误差较大，应使用菲涅尔模型。

2.2 衍射效率：定义、计算与优化

核心原理：衍射效率 η 定义为目标衍射级次的光功率与入射光总功率之比。对于纯相位 DOE，理想情况下 η 可达 100%，但实际受限于量化误差、加工误差和材料吸收。

计算流程：首先确定目标级次 m，计算该级次的傅里叶系数 C_m = (1/Λ)∫₀^Λ exp[iφ(x)] exp[-i2πmx/Λ] dx，则 η = |C_m|²。对于多台阶量化，效率公式为 η = [sin(π/M)/(π/M)]²。例如 M=4 时，η = [sin(π/4)/(π/4)]² ≈ 0.811。

2.3 相位函数与振幅透过率的关系

核心原理：DOE 的振幅透过率 t(x,y) 是复数函数，可写为 t = A·exp(iφ)。纯相位 DOE 满足 A=1（忽略吸收），此时 t = exp(iφ)。相位函数 φ(x,y) 直接决定了光场调制效果。对于表面浮雕结构，相位延迟由物理高度 h(x,y) 产生：φ = 2π(n-1)h/λ，其中 n 为材料折射率。

设计流程：

1. 根据目标光场，通过逆衍射计算得到连续相位分布 φ_cont(x,y)。
2. 将连续相位按 M 级量化：φ_quant = round(φ_cont × M/2π) × 2π/M。
3. 将量化相位转换为物理高度：h = φ_quant × λ/[2π(n-1)]。
4. 检查最小特征尺寸是否满足加工约束（如光刻分辨率）。

2.4 关键术语：相位台阶、量化级数、周期与微结构

概念辨析：

• 相位台阶：相位分布中最小的高度单元，对应一个离散相位值。台阶高度决定衍射角，台阶宽度决定衍射效率。
• 量化级数 M：一个周期内相位台阶的数量。M 越大，相位越接近连续，效率越高，但加工难度和成本也越高。
• 周期 Λ：相位分布重复的空间距离。周期越小，衍射角越大，但最小线宽也越小，可能超出加工极限。
• 微结构：实际加工出的表面形貌，包括台阶、沟槽、柱体等。微结构的特征尺寸（线宽、深度、侧壁角）直接影响光学性能。