4、数学基础：矩阵与向量表示、内积与正交基、傅里叶变换、Hadamard变换、稀疏表示与压缩感知基础
单像素成像（Single-Pixel Imaging, SPI）的核心思想是：用一个没有空间分辨能力的单像素探测器（如光电二极管），配合一系列空间光调制图案，通过多次测量来重建二维或三维图像。这一过程本质上是一个数学问题——如何从一系列标量测量值中恢复出高维图像向量。因此，理解矩阵与向量表示、内积与正交基、傅里叶变换、Hadamard变换以及稀疏表示与压缩感知理论，是掌握单像素成像技术的关键前提。本章将系统梳理这些数学工具，并说明它们在单像素成像中的具体角色。
4.1 矩阵与向量表示：图像的数字抽象
核心原理：在单像素成像中，一幅二维图像（宽度W、高度H）不能直接输入数学方程，必须将其转换为向量形式。标准做法是按列（或按行）将像素值依次排列，形成一个长度为 N = W×H 的一维列向量 x ∈ ℝN。例如，一张 32×32 的图像会变成一个 1024 维的向量。测量矩阵 Φ 的每一行代表一次空间光调制器（SLM）或数字微镜器件（DMD）上加载的图案，该行与图像向量的内积即为单像素探测器测得的标量值。因此，整个成像过程可以简洁地表示为 y = Φx + e，其中 y ∈ ℝM 是 M 次测量的结果。
操作流程：在实际系统中，矩阵 Φ 的每一行需要被“物化”为物理图案。例如，若使用 DMD 产生二值图案，则 Φ 的元素通常取 0 或 1（或 +1/-1 的差分形式）。测量时，DMD 依次显示 Φ 的第 1 行、第 2 行……第 M 行，每次显示后记录探测器输出，最终得到完整的 y 向量。重建阶段，算法根据已知的 Φ 和 y 求解 x。
| 符号 | 维度 | 物理含义 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| x | N×1 | 目标图像（按列堆叠） | N=1024（32×32） |
| Φ | M×N | 测量矩阵（每行一个图案） | M=512, N=1024 |
| y | M×1 | 探测器测量值 | M=512 |
| e | M×1 | 噪声（热噪声、散粒噪声等） | σ≈0.01 |
4.2 内积与正交基：测量的本质
核心原理：单像素测量的每一次操作，本质上就是计算图像向量 x 与测量图案向量 φi（Φ 的第 i 行）的内积：yi = ⟨φi, x⟩ = Σj=1N φi,j·xj。内积可以理解为“投影”——它反映了 x 在 φi 方向上的分量大小。如果一组向量 {φ1, φ2, …, φN} 满足两两正交（⟨φi, φj⟩=0, i≠j）且模长为 1（归一化），则构成一组正交基。使用正交基作为测量矩阵时，重建变得极其简单：x = ΦTy（当 Φ 为方阵且正交时）。
判断方法：如何判断一组基是否适合单像素成像？关键指标有三个：正交性（保证重建唯一性）、能量集中度（图案是否包含足够的低频信息）、物理可实现性（图案能否在 DMD/SLM 上快速生成）。Hadamard 基和傅里叶基都是正交基，但 Hadamard 基只包含 ±1 值，非常适合二值 DMD；傅里叶基包含复数，需要相位调制或分解为实部/虚部分别测量。
4.3 傅里叶变换：频域视角
核心原理：傅里叶变换将图像从空间域（像素坐标）变换到频域（空间频率）。对于单像素成像，傅里叶基图案是正弦条纹（不同频率、方向、相位）。测量值 yi 对应图像在某个频率分量上的幅度。由于自然图像的能量主要集中在低频部分，高频分量通常很小，这为压缩测量提供了理论基础。二维离散傅里叶变换（DFT）的公式为：F(u,v) = ΣxΣy f(x,y)·e-j2π(ux/W+vy/H)。
操作流程：在单像素成像中使用傅里叶基时，通常采用四步相移法：对每个频率 (u,v)，依次投影相位为 0°、90°、180°、270° 的正弦条纹，得到四个测量值 I0, I90, I180, I270，然后计算实部 Re = I0 - I180，虚部 Im = I90 - I270。这样可消除环境光和探测器偏置的影响。对所有需要的频率重复此过程，最后执行逆傅里叶变换得到图像。
| 频率数 | 测量次数 | 重建质量 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 全部 N 个频率 | 4N（四步相移） | 精确重建 | 静态场景、高精度需求 |
| 低频子集（如 10%） | 0.4N | 模糊但有轮廓 | 快速预览、视频帧 |
| 自适应频率选择 | 0.1N~0.3N | 较好，取决于内容 | 压缩感知结合 |
4.4 Hadamard变换：二值正交基的优选
核心原理：Hadamard 矩阵是由 +1 和 -1 组成的正交方阵，满足 HnHnT = nI。其构造可通过递归：H1=[1]，H2k = [[Hk, Hk], [Hk, -Hk]]。Hadamard 基在单像素成像中极受欢迎，因为：① 二值特性完美匹配 DMD；② 正交性保证重建简单；③ 变换速度快（快速 Hadamard 变换，FHT，复杂度 O(N log N)）。
操作流程：实际使用中，由于 DMD 只能显示 0/1 而非 +1/-1，通常将 Hadamard 图案拆分为正负两部分：H+ = (H+1)/2（将 -1 变为 0），H- = (1-H)/2。每次测量需要两次投影：y+ = ⟨H+, x⟩，y- = ⟨H-, x⟩，最终 y = y+ - y-。这相当于差分测量，能有效抑制共模噪声（如环境光）。
4.5 稀疏表示与压缩感知基础
核心原理：压缩感知（Compressive Sensing, CS）理论指出：如果信号 x 在某个变换域 Ψ 中是稀疏的（即大部分系数为零或接近零），那么可以用远少于 N 次的随机测量来重建 x。数学表达为：x = Ψs，其中 s 是稀疏系数向量（只有 K 个非零元素）。测量过程变为 y = ΦΨs = Θs，其中 Θ = ΦΨ 是 M×N 的感知矩阵。重建问题转化为：min ||s||0 s.t. y = Θs，但 L0 范数优化是 NP 难问题，通常松弛为 L1 范数优化：min ||s||1 s.t. y = Θs。
判断方法：要成功应用压缩感知，需满足两个关键条件：稀疏性（K 越小越好，自然图像在 DCT 或小波域通常 K ≈ 0.05N~0.2N）和受限等距性质（RIP）（测量矩阵 Φ 与稀疏基 Ψ 不相关，随机矩阵如高斯随机矩阵、伯努利随机矩阵通常满足）。实际中，Hadamard 矩阵的随机行子集也被证明具有良好的 RIP 性能。
| 重建算法 | 类型 | 复杂度 | 特点 |
|---|---|---|---|
| OMP（正交匹配追踪） | 贪婪算法 | O(K·M·N) | 简单快速，需已知稀疏度 K |
| ISTA（迭代软阈值） | 凸优化 | O(T·M·N) | 稳定，需调迭代步长 |
| ADMM（交替方向乘子法） | 凸优化 | O(T·M·N) | 收敛快，适合大规模 |
| TVAL3（全变分） | 全变分正则化 | O(T·M·N) | 适合图像，保持边缘 |
4.6 综合案例：从数学到物理的完整链路
场景设定：设计一个单像素成像系统，目标是对 64×64 分辨率的物体进行成像，要求采集时间不超过 0.5 秒，DMD 切换频率为 40kHz，探测器响应时间可忽略。
分析与决策：总可用测量次数 = 0.5s × 40kHz = 20000 次。若使用完整 Hadamard 基（N=4096），正负差分需要 8192 次投影，远小于 20000，但时间仅需 0.2 秒，满足要求。然而，为了展示压缩感知的优势，我们尝试将测量次数降至 N 的 25%，即 M=1024 次（正负各 512 次，共 1024 次投影），时间约 0.026 秒。此时需要压缩感知重建。
实施步骤：
- 生成 4096×4096 的 Hadamard 矩阵 H，按 Sequency 排序。
- 随机选取 512 行（对应 512 个图案），构成测量矩阵 Φ（512×4096）。
- 对每个选中的 Hadamard 行，生成正负图案并投影，记录差分测量值 y（512×1）。
- 选择稀疏基 Ψ 为 DCT（离散余弦变换）基，计算感知矩阵 Θ = ΦΨ。
- 使用 OMP 算法求解 s，设置稀疏度 K=80（预期图像在 DCT 域稀疏）。
- 重建图像 x = Ψs，并评估 PSNR。
结果对比：在仿真中，使用 512 次测量（12.5% 采样率）重建的 PSNR 约为 28dB，而使用完整 4096 次测量的 PSNR 为无穷大（精确重建）。但 28dB 已满足一般视觉识别需求。若将测量次数增至 1024 次（25%），PSNR 可提升至 34dB。实际系统中还需考虑 DMD 衍射、光学噪声、探测器非线性等因素，PSNR 会下降 2~5dB。
复盘与经验：① 压缩感知并非“免费午餐”，它用计算复杂度换取采集时间；② 稀疏基的选择至关重要，DCT 适合自然图像，小波适合纹理丰富的图像，Hadamard 基本身也可作为稀疏基（对某些二值图像）；③ 实际硬件中，随机图案的生成和同步需要精确的时序控制，建议使用 FPGA 实现实时图案切换与数据采集；④ 噪声环境下，建议使用 TVAL3 或 ADMM 等鲁棒算法，而非 OMP。