数学预备：傅里叶级数与傅里叶变换的定义、性质与常用变换对

傅里叶分析是光学信息处理、全息术、衍射计算与成像系统的数学基石。在《傅里叶光学基础》中，光场的复振幅分布被视作空间域中的二维函数，而透镜的聚焦作用本质上就是对输入光场执行一次二维傅里叶变换。因此，透彻理解傅里叶级数与傅里叶变换的定义、核心性质以及常用变换对，是后续分析衍射、相干成像与空间滤波的前提。本章将从连续时间（或空间）信号出发，系统梳理从周期信号的级数展开到非周期信号的积分变换的完整脉络，并重点讨论在光学工程中频繁使用的线性性、平移性、缩放性、卷积定理与相关定理。

上图展示了傅里叶分析从周期信号到非周期信号的演进路径，以及六大核心性质在光学中的映射关系。在光学工程中，我们通常处理的是二维空间函数，例如光瞳函数、透射函数或物体复振幅分布。透镜的傅里叶变换特性使得我们可以在焦平面上直接观察到输入光场的空间频谱，这正是阿贝成像理论和空间滤波实验的基础。下面我们将逐一深入讨论这些数学工具的精确定义与工程应用。

2.1 傅里叶级数：周期信号的谐波分解

核心原理

任何一个满足狄利克雷条件的周期函数 \( f(x) \)，周期为 \( T \)，都可以分解为一系列谐波相关的复指数函数之和：

f(x) = Σ_{n=-∞}^{∞} cₙ · exp(j·2π·n·f₀·x)    (1)
其中基频 f₀ = 1/T，谐波频率为 n·f₀
傅里叶系数 cₙ = (1/T) ∫_{x₀}^{x₀+T} f(x) · exp(-j·2π·n·f₀·x) dx   (2)

系数 \( c_n \) 反映了第 \( n \) 次谐波分量的幅度和相位。对于实信号，正负频率的系数共轭对称，即 \( c_{-n} = c_n^* \)，因此幅度谱是偶函数，相位谱是奇函数。在光学中，周期光栅的透射函数就可以用傅里叶级数表示，其各级衍射光的相对强度正比于 \( |c_n|^2 \)。

判断方法与工程意义

判断一个信号是否适合用傅里叶级数展开，主要看三个条件：周期性（信号必须严格重复）、有限能量（在一个周期内能量有限）、有限个极值点（不包含无限次振荡）。在光学元件设计中，周期性光栅、微透镜阵列、光子晶体等结构天然满足周期性条件，因此傅里叶级数是分析其衍射特性的首选工具。

案例拆解：矩形光栅的衍射级次分析

设一维振幅光栅的透射函数为周期方波：在一个周期内，透射区域（开口）宽度为 \( a \)，不透射区域宽度为 \( b \)，周期 \( T = a + b \)。其傅里叶系数为：

cₙ = (a/T) · sinc(n·a/T) · exp(-j·π·n·(a+b)/T)   (3)
其中 sinc(x) = sin(πx)/(πx)

当 \( a = T/2 \)（即占空比 50%）时，偶数次谐波（除 0 级外）全部为零，只有奇次谐波存在。这一结论直接解释了为什么 50% 占空比的振幅光栅没有 ±2 级衍射光。在实际制作光栅时，如果占空比偏离 50%，偶数级次就会出现，且各级衍射效率发生变化。通过测量各级衍射光强，可以反推光栅的实际占空比，这是一种非接触式的光栅参数检测方法。

2.2 傅里叶变换：非周期信号的频谱密度

核心原理

当周期 \( T \to \infty \) 时，周期信号退化为非周期信号，离散频谱演变为连续频谱。傅里叶变换定义为：

正变换:  G(f) = ∫_{-∞}^{∞} g(x) · exp(-j·2π·f·x) dx   (4)
逆变换:  g(x) = ∫_{-∞}^{∞} G(f) · exp(j·2π·f·x) df   (5)

这里 \( G(f) \) 称为频谱密度函数，单位是“每单位频率的幅度”。在光学中，\( x \) 通常表示空间坐标（单位 mm），\( f \) 表示空间频率（单位 lp/mm），两者通过傅里叶变换对联系起来。透镜的聚焦作用恰好实现了这一数学运算：前焦面的光场分布与后焦面的频谱分布互为傅里叶变换。

常用变换对与性质

掌握常用变换对是快速求解问题的关键。下表列出了光学中最重要的变换对：

核心性质详解

线性性：若 \( g_1(x) \leftrightarrow G_1(f) \)，\( g_2(x) \leftrightarrow G_2(f) \)，则 \( a·g_1 + b·g_2 \leftrightarrow a·G_1 + b·G_2 \)。这一性质保证了复杂光场可以分解为简单元件的叠加，是计算衍射场的基础。

平移性：\( g(x - x_0) \leftrightarrow G(f)·\exp(-j2πfx_0) \)。空域平移只改变频谱的相位，不改变幅度谱。在光学中，物体横向移动不会改变焦平面上光强分布，只会引入线性相位因子，这正是光学系统平移不变性的体现。

缩放性：\( g(ax) \leftrightarrow (1/|a|)·G(f/a) \)。信号在空域压缩，频谱在频域展宽且幅度减小。这一性质直接决定了透镜成像的放大倍率与分辨率的关系：物体越小，其频谱越宽，需要更大的透镜孔径才能捕获全部高频信息。

卷积定理：\( g_1(x) * g_2(x) \leftrightarrow G_1(f)·G_2(f) \)。空域卷积对应频域相乘。这是傅里叶光学中最核心的定理之一，它解释了相干成像系统为什么可以看作线性空间不变系统：像面光场 = 物面光场 ⊗ 点扩散函数，在频域中就是频谱相乘。

相关定理：\( g_1(x) \star g_2(x) \leftrightarrow G_1^*(f)·G_2(f) \)。互相关在频域表现为共轭相乘。当 \( g_1 = g_2 \) 时，得到自相关，其频域为功率谱密度 \( |G(f)|^2 \)。维纳-辛钦定理表明，自相关函数与功率谱密度构成傅里叶变换对，这在光学相干性理论中至关重要。

2.3 二维傅里叶变换与光学系统的衔接

二维变换的定义

光学系统处理的是二维光场分布，因此需要二维傅里叶变换：

G(f_x, f_y) = ∬ g(x, y) · exp[-j2π(f_x·x + f_y·y)] dx dy   (6)
g(x, y) = ∬ G(f_x, f_y) · exp[j2π(f_x·x + f_y·y)] df_x df_y   (7)

对于可分离变量函数 \( g(x,y) = g_1(x)·g_2(y) \)，二维变换可以分解为两个一维变换的乘积，这大大简化了计算。例如矩形光瞳的二维傅里叶变换就是两个一维 sinc 函数的乘积。

透镜的傅里叶变换特性

在傍轴近似下，薄透镜对入射光场的相位调制作用可以表示为：

t(x, y) = exp[-j·k/(2f)·(x² + y²)]   (8)
其中 k = 2π/λ，f 为透镜焦距

当输入光场置于透镜前焦面时，后焦面上的光场分布恰好是输入光场的二维傅里叶变换（忽略常数相位因子）。这一物理实现使得光学方法可以实时、并行地完成傅里叶变换运算，速度远超数字计算。4F 系统正是利用两个透镜的傅里叶变换特性，在频谱面上进行空间滤波操作。

案例拆解：4F 系统低通滤波实验

考虑一个典型的 4F 相干光学处理系统，输入图像为 100 lp/mm 的矩形光栅，透镜焦距 f = 200 mm，照明波长 λ = 632.8 nm。在频谱面上，各衍射级次的位置为：

xₙ = n·λ·f / T   (9)
其中 T = 1/100 mm = 0.01 mm
代入得: xₙ = n × 632.8e-6 × 200 / 0.01 = n × 12.656 mm

若在频谱面中心放置一个直径为 6 mm 的圆形光阑，则只有 0 级（中心点）能通过，±1 级（位于 ±12.656 mm）被阻挡。输出像面上将得到均匀的直流分量，光栅条纹完全消失。若将光阑直径增大到 30 mm，则 ±1 级也能通过，输出像恢复光栅条纹，但边缘会有振铃效应（Gibbs 现象），这是因为高频分量被截断。

通过这个实验可以直观理解：空间滤波的本质是频域相乘。光阑的透射函数在频域中充当滤波器，其傅里叶逆变换就是系统的点扩散函数。圆形光阑对应的点扩散函数为艾里斑，其第一暗环半径决定了系统的分辨率极限。

2.4 常用变换对与工程应用速查

核心变换对汇总

为了便于工程查阅，下表列出了光学设计中最高频使用的变换对及其关键参数：

实战场景：光学低通滤波器设计

在数字相机中，为了避免摩尔纹，需要在传感器前放置光学低通滤波器（OLPF）。该滤波器通常由双折射晶体制成，其作用等效于将入射光在空域中分裂为多个子光束，对应的频域响应为梳状函数的包络。设计目标是在 Nyquist 频率处将 MTF 降至零。

假设像素间距 p = 3.45 μm，Nyquist 频率 f_N = 1/(2p) = 145 lp/mm。采用四分裂 OLPF，每束光偏移量 d = p/2 = 1.725 μm。其频域响应为：

H(f) = cos(π·d·f) · cos(π·d·f)   (10)
在 f = f_N 处: H(f_N) = cos²(π·1.725e-3·145) = cos²(0.785) ≈ 0.5

此时 MTF 在 Nyquist 频率处仍有 0.5，不足以完全抑制摩尔纹。若改用偏移量 d = p = 3.45 μm，则 H(f_N) = cos²(1.571) = 0，完美抑制。但代价是分辨率下降，因为低频 MTF 也受到 cos 函数调制。实际设计中需要在抗混叠和分辨率之间权衡，通常选择 d = 0.7p ~ 0.9p。

总结与复盘

本章的核心逻辑可以概括为一条主线：从周期信号的离散谱到非周期信号的连续谱，再到二维推广与光学实现。需要重点掌握以下内容：

• 傅里叶级数适用于周期结构（光栅、阵列），系数 \( c_n \) 直接对应衍射级次。
• 傅里叶变换适用于非周期信号，频谱密度 \( G(f) \) 是连续函数。
• 六大性质（线性、平移、缩放、卷积、相关、Parseval）是解题的武器库，务必熟练推导。
• 常用变换对需要达到条件反射的程度，特别是 rect↔sinc、Gaussian↔Gaussian、δ↔常数。
• 透镜的傅里叶变换特性是光学信息处理的物理基础，4F 系统是标准架构。

常见误区包括：混淆幅度谱和功率谱（前者是 |G|，后者是 |G|²）；忘记傅里叶变换的对称性（实偶函数的变换仍是实偶函数）；忽略常数因子（不同教材的变换定义可能相差 2π 因子，务必统一）；在二维问题中错误地使用一维公式（可分离变量时才能分解）。