2、信号与阵列基础：复信号表示、窄带信号模型、均匀线阵（ULA）几何与阵列流形向量

波束形成的本质是对空间分布的传感器阵列所接收的信号进行加权合并，以增强期望方向信号、抑制干扰与噪声。要理解这一过程，首先需要建立统一的信号数学表达框架。本章从复信号表示出发，引出窄带信号模型，再结合均匀线阵（ULA）的几何结构，推导出阵列流形向量——这是后续所有波束形成算法（如CBF、MVDR、MUSIC）的数学基石。下图展示了从连续时间实信号到阵列流形向量的完整推导链路，以及各概念之间的依赖关系。

2.1 复信号表示：从实信号到解析信号

实际物理世界中，传感器（如麦克风、天线阵元）输出的都是实信号。但在波束形成算法中，我们几乎总是使用复信号（解析信号）来表示接收数据。原因在于：复信号能够将实信号的幅度与相位信息分离，使得相位差（波束形成的核心）可以直接通过复数乘法体现，而无需复杂的三角恒等变换。

对于一个实窄带信号 \( s(t) = A(t)\cos(\omega_0 t + \phi(t)) \)，其解析信号定义为：

z(t) = s(t) + j·H[s(t)] = A(t)·e^(j(ω₀t + φ(t)))

其中 \( H[s(t)] \) 是希尔伯特变换。解析信号的频谱只在正频率部分非零，因此其采样率可以降低一半而不丢失信息。在数字实现中，通常通过正交解调（I/Q采样）直接获得复基带信号：

s_BB(t) = I(t) + j·Q(t) = A(t)·e^(jφ(t))

这里 \( I(t) \) 是同相分量，\( Q(t) \) 是正交分量。基带复信号去除了载波 \( e^{j\omega_0 t} \)，保留了幅度和相位信息，这正是波束形成算法所关心的全部内容。

2.2 窄带信号模型：相位差是空间信息的载体

窄带信号模型是阵列信号处理的核心假设。所谓“窄带”，是指信号的包络变化速度远慢于载波周期，即信号带宽 \( B \) 远小于载波频率 \( f_0 \)。在此假设下，信号到达不同阵元时，其包络可以认为近似不变，仅产生相位差。

考虑一个远场窄带信号以角度 \( \theta \) 入射到均匀线阵上（\( \theta \) 为入射方向与阵列法线的夹角）。设第一个阵元接收到的信号为 \( s(t) \)，则第 \( m \) 个阵元接收到的信号为：

x_m(t) = s(t) · e^(-j·2π·(m-1)·d·sinθ/λ) + n_m(t)

其中 \( d \) 为阵元间距，\( \lambda \) 为载波波长，\( n_m(t) \) 为第 \( m \) 个阵元上的噪声。这个相位差 \( -2\pi(m-1)d\sin\theta/\lambda \) 完全由阵列几何和信号入射方向决定，与信号的具体内容无关。这正是波束形成能够通过相位补偿实现方向选择的基础。

窄带假设的成立条件可以量化为：

2.3 均匀线阵（ULA）几何与阵列流形向量

均匀线阵是最简单的阵列拓扑：M个全向阵元等间距d排列在一条直线上。以第一个阵元为参考点，第m个阵元的位置为 \( p_m = (m-1)d \)。对于来自方向 \( \theta \) 的远场平面波，相邻阵元间的波程差为 \( d\sin\theta \)，对应的相位差为 \( 2\pi d\sin\theta/\lambda \)。

将所有阵元对参考阵元的相对相位差写成向量形式，即得到阵列流形向量（Array Manifold Vector）：

a(θ) = [1, e^(-j·2πd·sinθ/λ), e^(-j·4πd·sinθ/λ), …, e^(-j·2π(M-1)d·sinθ/λ)]ᵀ

这个向量完全描述了阵列对来自方向 \( \theta \) 的单位幅度信号的响应。它只取决于阵列几何（d、M）和信号方向（θ），与信号本身无关。阵列流形向量是波束形成权向量设计、空间谱估计、DOA估计等所有算法的核心输入。

当 \( d = \lambda/2 \) 时，流形向量简化为：

a(θ) = [1, e^(-jπ·sinθ), e^(-j2π·sinθ), …, e^(-j(M-1)π·sinθ)]ᵀ

此时 \( \sin\theta \) 在 \([-1, 1]\) 范围内变化，对应的相位差覆盖整个 \([-π, π]\) 区间，不会产生空间混叠。

2.4 案例拆解：8元ULA的流形向量计算与验证

下面通过一个具体案例来巩固上述概念。假设有一个8元均匀线阵，阵元间距 \( d = \lambda/2 \)，载频 \( f_0 = 2.4\text{ GHz} \)（对应波长 \( \lambda = 12.5\text{ cm} \)）。我们希望计算信号从 \( \theta = 30^\circ \) 方向入射时的阵列流形向量，并验证其相位分布。

步骤1：计算相邻阵元相位差

Δφ = 2π·d·sinθ/λ = 2π·(λ/2)·sin(30°)/λ = π·0.5 = π/2 弧度

步骤2：生成流形向量

a(30°) = [1, e^(-jπ/2), e^(-jπ), e^(-j3π/2), e^(-j2π), e^(-j5π/2), e^(-j3π), e^(-j7π/2)]ᵀ
       = [1, -j, -1, +j, 1, -j, -1, +j]ᵀ

步骤3：验证相位线性递增

观察各元素的相位：0°, -90°, -180°, -270°, -360°, -450°, -540°, -630°。相邻元素相位差恒为 -90°，呈完美的线性关系。这正是均匀线阵的典型特征——相位沿阵列线性递增，递增速率由 \( \sin\theta \) 决定。

步骤4：用Python快速验证

import numpy as np
M = 8          # 阵元数
d = 0.5        # 以波长为单位，d = λ/2
theta = np.deg2rad(30)
# 生成流形向量
m = np.arange(M)
a_theta = np.exp(-1j * 2 * np.pi * d * m * np.sin(theta))
print("流形向量:", a_theta)
print("相位(度):", np.angle(a_theta, deg=True))

结果对比：计算得到的相位序列为 [0, -90, -180, -270, -360, -450, -540, -630] 度，与理论推导完全一致。这个线性相位关系是后续波束形成权向量设计的基础——只需对每个阵元施加相反的相位延迟，即可将波束指向30°方向。

2.5 常见误区与总结

在信号与阵列基础部分，初学者常犯以下几类错误，需要特别警惕：

• 混淆实信号与复信号：直接对实信号进行相位加权是错误的，必须先通过希尔伯特变换或正交解调获得解析信号。
• 忽略窄带条件：将窄带模型直接用于宽带信号，导致相位差计算失真。务必检查信号带宽是否满足 \( B \ll c/(M\cdot d) \)。
• 阵元间距选择不当：当 \( d > \lambda/2 \) 时，流形向量在不同方向可能产生相同的相位响应，导致空间混叠（栅瓣）。设计阵列时必须保证 \( d \leq \lambda/2 \)。
• 参考阵元选择随意：流形向量以第一个阵元为参考，但参考点可以平移。不同参考点只会导致流形向量乘以一个常数相位因子，不影响波束形成的功率输出，但会影响相位解缠的直观性。
• 忘记噪声建模：实际接收信号总是包含噪声。阵列接收模型应为 \( \mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\theta)s(t) + \mathbf{n}(t) \)，其中噪声向量 \( \mathbf{n}(t) \) 通常假设为空间白噪声，即各阵元噪声独立同分布。