3、轨迹规划概述：轨迹定义、路径与轨迹的区别、关节空间与笛卡尔空间规划对比

工业机器人运动控制的核心任务之一，是让末端执行器按照工艺要求完成空间运动。无论是焊接、喷涂、搬运还是装配，机器人各关节的驱动电机都必须依据某种时间序列指令进行协调运动。这一时间序列的生成过程，就是轨迹规划（Trajectory Planning）。轨迹规划直接决定了机器人运动的平稳性、效率、精度以及机械寿命。本章作为轨迹规划模块的开篇，将厘清轨迹与路径的本质区别，并系统对比关节空间与笛卡尔空间两种规划策略的适用场景与实现逻辑，为后续插补算法的学习奠定概念基础。

上图展示了轨迹规划领域三个核心概念之间的逻辑关系。路径是纯几何描述，不包含时间信息；轨迹则在路径的基础上附加了时间律，即每个时刻的位置、速度与加速度。而规划空间的选择（关节空间或笛卡尔空间）决定了我们以何种变量来描述和生成这条轨迹。下面将逐一展开论述。

3.1 轨迹定义与数学描述

在机器人学中，轨迹（Trajectory）是指机器人末端执行器或关节在运动过程中，其位置、速度、加速度随时间变化的函数集合。与路径不同，轨迹不仅描述机器人“走了哪条路”，还描述“何时到达何处”、“以多快的速度通过”以及“加速度如何变化”。从控制工程的角度看，轨迹是伺服驱动系统的参考输入，其光滑程度直接影响跟踪误差和机械振动。

一条完整的轨迹通常由以下数学元素构成：

• 位置函数：\( q(t) \) 或 \( x(t) \)，表示关节角度或末端笛卡尔坐标随时间的变化。
• 速度函数：\( \dot{q}(t) \) 或 \( v(t) \)，是位置对时间的一阶导数。
• 加速度函数：\( \ddot{q}(t) \) 或 \( a(t) \)，是位置对时间的二阶导数。
• 加加速度（Jerk）：\( \dddot{q}(t) \)，即加速度的导数，用于衡量运动的柔顺性。

在实际工业应用中，轨迹规划的目标是生成满足以下约束的 \( q(t) \)：

1. 边界条件：起点位置、终点位置、起点速度（通常为0）、终点速度（通常为0）。
2. 物理约束：各关节最大速度、最大加速度、最大力矩。
3. 工艺约束：末端执行器在笛卡尔空间中的直线度、姿态变化率、焊接速度恒定等。

3.2 路径与轨迹的区别

路径（Path）与轨迹（Trajectory）是机器人运动学中极易混淆的两个概念。简单来说，路径是空间中的一条几何曲线，它只描述机器人将要经过的位置序列，不包含任何时间属性。例如，一条从点A到点B的直线段，或者一段圆弧，都是路径。路径可以用参数方程 \( P(s) \) 表示，其中 \( s \) 是弧长参数，与时间无关。

而轨迹则是在路径的基础上，赋予每个路径点一个明确的时间戳。轨迹可以表示为 \( P(s(t)) \)，其中 \( s(t) \) 是时间 \( t \) 的单调递增函数，描述了沿路径运动的进度。轨迹不仅告诉机器人“去哪里”，还告诉它“什么时候到”、“速度如何变化”。

对比维度	路径（Path）	轨迹（Trajectory）
核心内容	空间几何描述（位置序列）	时间律描述（位置+速度+加速度）
数学表达	\( P(s) \)，s为弧长参数	\( P(s(t)) \)，t为时间参数
是否包含速度信息	否	是
是否包含加速度信息	否	是
典型应用	离线编程中的几何示教	实时运动控制、伺服指令生成
规划目标	满足几何约束（避障、直线度）	满足动力学约束（速度、加速度、冲击）

举一个直观的例子：在焊接工艺中，要求焊枪沿一条直线焊缝运动。这条直线就是路径。但仅仅知道直线路径是不够的——焊接速度必须恒定（例如8mm/s），否则焊缝宽度和熔深会不均匀。因此，必须规划一条轨迹，使得焊枪在路径上的每个点都以恒定的线速度通过。这就是轨迹规划要解决的问题。

3.3 关节空间与笛卡尔空间规划对比

轨迹规划可以在两个不同的空间中执行：关节空间（Joint Space）和笛卡尔空间（Cartesian Space）。两种方法各有优劣，适用于不同的工艺场景。

3.3.1 关节空间规划

关节空间规划是指直接在机器人各关节的角坐标空间中进行轨迹生成。规划器的输入是起点和终点对应的关节角度向量 \( q_{start} \) 和 \( q_{end} \)，输出是每个关节的角度随时间变化的函数 \( q_i(t) \)。常用的方法包括多项式插值（三次多项式、五次多项式）、梯形速度曲线、S型速度曲线等。

关节空间规划的核心优势：

• 计算效率高：不需要进行逆运动学计算，直接在各关节独立规划，计算量小，实时性好。
• 避免奇异点：由于不涉及笛卡尔空间，不会出现因雅可比矩阵奇异而导致的规划失败。
• 易于实现关节限位约束：可以直接将关节角度限制、速度限制、加速度限制纳入规划过程。

关节空间规划的局限性：

• 末端执行器在笛卡尔空间中的运动轨迹不可预测，可能是一条复杂的曲线，无法保证直线或圆弧。
• 对于需要精确控制末端姿态或路径形状的工艺（如直线焊接、圆弧切割），关节空间规划无法直接满足要求。

3.3.2 笛卡尔空间规划

笛卡尔空间规划是在机器人末端执行器的直角坐标空间中生成轨迹。规划器的输入是起点和终点的末端位姿 \( X_{start} \) 和 \( X_{end} \)（包括位置和姿态），输出是末端位姿随时间变化的函数 \( X(t) \)。在规划过程中，需要实时进行逆运动学计算，将笛卡尔空间中的期望位姿转换为各关节的角度指令。

笛卡尔空间规划的核心优势：

• 路径形状可控：可以精确规划出直线、圆弧、样条曲线等期望几何路径，满足焊接、涂胶、切割等工艺要求。
• 姿态控制直观：可以直接规划末端执行器的姿态变化，如保持焊枪垂直于工件表面。

笛卡尔空间规划的局限性：

• 计算量大：每个插补周期都需要进行逆运动学求解，对控制器性能要求高。
• 存在奇异点问题：当机器人处于奇异位形时，逆运动学无解或产生无穷大关节速度，导致规划失败。
• 可能超出关节限位：笛卡尔空间中的直线路径可能经过关节限位区域，需要额外检查和处理。

对比维度	关节空间规划	笛卡尔空间规划
规划变量	关节角度 \( q_i(t) \)	末端位姿 \( X(t) \)
逆运动学	不需要（规划前只需一次正解）	每个插补周期都需要
路径形状	不可控（由关节运动合成）	可控（直线、圆弧等）
奇异点处理	天然规避	需要特殊处理
计算复杂度	低	高
典型应用	点对点搬运、上下料	弧焊、涂胶、切割、去毛刺
速度规划	各关节独立规划	末端线速度/角速度规划

3.3.3 混合规划策略

在实际工业应用中，往往采用混合策略：在笛卡尔空间规划路径形状，在关节空间规划速度曲线。例如，在弧焊应用中，先规划末端沿直线焊缝运动的路径，然后根据焊接工艺要求（恒定线速度）在笛卡尔空间进行速度规划，最后通过逆运动学将笛卡尔轨迹转换为关节轨迹。而在搬运应用中，通常直接在关节空间规划，因为对末端路径形状没有严格要求，只需保证起点和终点位置准确。

3.4 案例拆解：焊接机器人直线轨迹规划

以某汽车零部件焊接工位为例，机器人需要沿一条长度为300mm的直线焊缝进行焊接，焊接速度为10mm/s，起弧和收弧时速度需从0平滑过渡。该工位采用六轴关节型工业机器人，控制器支持关节空间和笛卡尔空间两种规划模式。

初始现象与目标：最初工程师直接在关节空间规划，通过示教器记录起点和终点关节角度，然后生成关节空间轨迹。结果发现，虽然起点和终点位置准确，但焊接过程中焊枪末端实际运动轨迹是一条弧线，偏离直线焊缝最大达5mm，导致焊缝宽度不均匀，出现咬边缺陷。

关键输入数据：

• 焊缝起点坐标：\( (500, 200, 300) \) mm，姿态：焊枪垂直于工件表面。
• 焊缝终点坐标：\( (800, 200, 300) \) mm。
• 焊接速度要求：恒定10mm/s，起弧/收弧加减速时间各0.5s。
• 机器人最大关节速度：180°/s，最大关节加速度：300°/s²。

分析判断过程：通过示教器在线监控功能，记录末端实际轨迹与理论直线的偏差，确认问题根源在于关节空间规划无法控制末端路径形状。进一步分析发现，该机器人从起点到终点的关节运动合成后，末端在空间中画出了一条向内弯曲的弧线，这是多关节协调运动时常见的现象。

实际操作步骤：

1. 切换为笛卡尔空间直线插补模式（MOVL指令）。
2. 在示教器中输入起点和终点位姿，设定焊接速度10mm/s。
3. 设置加减速时间为0.5s，采用S型速度曲线以减小冲击。
4. 在控制器中启用奇异点规避功能，并设置关节速度限制为最大值的80%作为安全余量。
5. 试运行并测量实际轨迹偏差。

结果对比：切换为笛卡尔空间规划后，末端轨迹与理论直线的最大偏差从5mm降低至0.3mm以内，满足焊接工艺要求。焊缝宽度均匀，无咬边缺陷。同时，由于采用了S型速度曲线，机器人运动更加平稳，机械振动明显减小。

风险与代价：笛卡尔空间规划导致控制器CPU负载从35%上升至62%，但仍在安全范围内。此外，在焊缝中段存在一个接近奇异点的区域，工程师通过调整机器人安装位置和工件摆放方向，使焊缝路径避开了奇异区域，避免了潜在的关节速度突变问题。

复盘经验：对于任何要求末端路径形状精确的工艺（焊接、涂胶、切割），必须使用笛卡尔空间规划。关节空间规划仅适用于点对点运动或对路径无严格要求的场景。同时，在笛卡尔空间规划中，必须提前检查路径是否经过奇异区域，并设置合理的关节速度限制作为安全保护。