3、轨迹规划基本概念：轨迹、路径、插补、插值、运动学约束、动力学约束、连续性与平滑性
工业机器人的运动控制本质上是一个“从目标到动作”的翻译过程。当我们下达“将末端从A点移动到B点”的指令时，控制器并不能直接驱动电机，它必须回答三个问题：走什么路线？以什么速度走？关节如何协调配合？这三个问题的答案，就构成了轨迹规划（Trajectory Planning）的核心内容。本章作为关节空间轨迹规划的基石，将系统梳理轨迹、路径、插补、插值、运动学约束、动力学约束、连续性与平滑性这七个核心概念，厘清它们之间的逻辑关系与工程边界。理解这些概念，是后续学习多项式插值、S曲线规划、时间最优规划等具体算法的前提。
3.1 轨迹与路径：时间维度的本质区别
核心原理：在机器人学中，“路径”（Path）与“轨迹”（Trajectory）是两个容易被混淆但本质不同的概念。路径是空间中的几何描述，它只定义机械臂末端或关节从起点到终点所经过的点的集合，不包含任何时间信息。例如，“从关节角(0°, 0°, 0°)运动到(30°, 45°, 60°)”描述的就是一条路径。而轨迹则是在路径的基础上附加了时间律（Timing Law），即每个路径点对应的时刻、速度、加速度。轨迹是“路径 + 时间”的完整函数：q(t)，其中 t 是时间变量。同一个路径可以对应无数条轨迹——可以快速通过、慢速通过、中途停顿或往复运动。
判断方法：工程中判断一个描述是路径还是轨迹，只需看它是否包含时间或速度信息。如果只给出位置序列（如示教器上记录的点位），那是路径；如果给出了每个点的速度、加速度或时间戳，那就是轨迹。在关节空间规划中，我们通常先确定路径的几何形状（如直线、圆弧或自由曲线），再通过时间规划（速度规划）生成轨迹。
| 对比维度 | 路径（Path） | 轨迹（Trajectory） |
|---|---|---|
| 数学表达 | 几何曲线 P(s)，s为弧长参数 | 时间函数 q(t)，t为时间 |
| 包含信息 | 位置/姿态序列 | 位置 + 速度 + 加速度 + 时间 |
| 是否唯一 | 同一路径可对应多条轨迹 | 由路径和时间律共同决定 |
| 工程用途 | 离线编程、避障规划 | 实时控制、伺服驱动 |
3.2 插补与插值：在线实时与离线构造
核心原理：插补（Interpolation）和插值（Polynomial Fitting）在中文语境中经常混用，但在工业机器人控制中有着明确的工程分工。插补是控制器在每一个控制周期（通常为1ms~8ms）内实时计算当前目标位置的过程。它接收规划器给出的轨迹参数，输出当前周期应到达的关节角度或笛卡尔坐标，直接送入伺服环。插补必须满足实时性要求，计算时间严格小于控制周期。插值则更多用于离线阶段——根据若干个关键点（路径点）构造一条连续函数（如三次多项式、五次多项式、B样条），使得函数通过这些点并满足边界条件。插值的结果是轨迹的数学表达式，供后续插补器在运行时快速求值。
操作流程：典型的关节空间轨迹生成流程如下：
- 路径点设定：在示教器或离线编程软件中确定关节空间的若干关键位置（起点、途经点、终点）。
- 插值构造：选择插值方法（如三次多项式、五次多项式、分段样条），构造通过所有路径点的连续函数
q(t)，并满足起点和终点的速度/加速度边界条件。 - 时间缩放：根据运动学约束（最大速度、最大加速度）调整时间参数，使轨迹满足约束。
- 实时插补：控制器在每个控制周期读取当前时间
t_k，代入插值函数计算q(t_k)，下发至伺服驱动器。
q(t) = a₀ + a₁t + a₂t² + a₃t³ + a₄t⁴ + a₅t⁵边界条件：q(0)=10°, q(2)=50°, q'(0)=0, q'(2)=0, q''(0)=0, q''(2)=0。解得六个系数后，控制器在2秒内以1ms周期执行2000次插补计算。若改用三次多项式，则加速度不连续，在起止点会产生冲击。这个案例说明插值方法的选择直接影响轨迹品质。
3.3 运动学约束与动力学约束
核心原理：运动学约束描述的是机器人运动能力的几何与速度极限，不涉及力或力矩。主要包括：关节角度限位（q_min ≤ q ≤ q_max）、关节最大速度（|q'| ≤ v_max）、关节最大加速度（|q''| ≤ a_max）。这些约束通常由电机的额定转速、减速比、机械结构强度决定，是轨迹规划的第一层限制。动力学约束则进一步考虑力/力矩的极限，包括：关节最大力矩（|τ| ≤ τ_max）、电机峰值电流限制、以及由惯量变化、重力项、科里奥利力引起的动态力矩需求。动力学约束比运动学约束更接近物理本质，但计算复杂度高，需要实时求解逆动力学方程。
判断方法：在工程实践中，如果只做点到点（PTP）运动且负载较轻，通常只考虑运动学约束即可。但当机器人高速运动、负载较大或臂展较长时，运动学约束下的轨迹可能导致实际力矩超限，引起电机过流报警或轨迹偏差。此时必须引入动力学约束进行时间最优规划或力矩限制。
| 约束类型 | 典型参数 | 来源 | 规划阶段 |
|---|---|---|---|
| 运动学约束 | 关节限位、最大速度、最大加速度 | 电机规格、减速比、机械限位 | 离线/在线均可 |
| 动力学约束 | 最大力矩、最大电流、惯量范围 | 驱动器规格、负载变化、臂型 | 通常离线计算 |
3.4 连续性与平滑性：从数学定义到工程品质
核心原理：连续性（Continuity）是数学上的阶次概念：C⁰连续表示位置连续，C¹连续表示速度连续，C²连续表示加速度连续。在关节空间轨迹中，C⁰是基本要求——位置不能跳变，否则机器人会“瞬移”导致机构损坏。C¹连续保证速度无突变，避免冲击。C²连续保证加速度无跳变，减少机械振动。平滑性（Smoothness）则是一个更综合的工程指标，通常用加加速度（Jerk，即加速度的导数）来量化。加加速度越大，轨迹越“生硬”，容易激发机械共振。平滑性好的轨迹，其加加速度曲线连续且有界。
操作流程：在关节空间规划中，提升平滑性的常用方法包括：
- 使用五次或更高阶多项式插值，保证C²连续。
- 采用S曲线速度规划（S-curve），将加速度变化率限制在设定值内。
- 在路径点之间加入过渡圆弧或样条混合，避免速度方向突变。
- 对规划结果进行低通滤波，但需注意相位延迟。
3.5 概念综合与工程决策
核心原理：上述七个概念并非孤立存在，而是构成一个完整的规划链条。路径定义“去哪里”，插值构造“怎么去”的数学描述，插补负责“实时执行”，运动学约束划定“能力边界”，动力学约束确保“物理可行”，连续性和平滑性决定“品质好坏”。在实际控制器中，这些概念被封装为不同的软件模块：路径规划器、速度规划器、插补器、约束检查器。
总结复盘：本章的核心要点可归纳为：
- 轨迹 = 路径 + 时间律，二者不可混淆。
- 插补是实时计算，插值是离线构造，两者服务于不同阶段。
- 运动学约束是“能不能做到”，动力学约束是“物理上是否安全”。
- 连续性关注数学阶次，平滑性关注工程感受，加加速度是桥梁。
- 在关节空间规划中，优先保证C²连续，再考虑加加速度限制。