第二节 运动控制基础：位置、速度、加速度、力/力矩与坐标系变换
运动控制算法的本质，是对执行机构在空间中的运动状态进行精确的规划、约束与反馈调节。无论是直线电机驱动的精密平台，还是六轴工业机器人，其底层控制对象都离不开位置、速度、加速度、力/力矩这四个核心物理量，以及描述这些物理量所依赖的坐标系框架。本节将系统梳理这些基本概念在数字控制系统中的工程含义，建立运动学与动力学的分析边界，并重点讲解从关节空间到笛卡尔空间的坐标变换方法，为后续学习PID整定、前馈补偿、轨迹规划与力控算法打下坚实的物理与数学基础。
2.1 四个核心物理量的工程定义与数字实现
在运动控制系统中，位置、速度、加速度和力/力矩并非孤立的物理概念，而是构成了一个通过微分与积分相互关联的完整链条。理解这一链条在数字控制器中的具体实现方式，是进行算法设计的前提。
位置是运动控制的基准量，通常由编码器或光栅尺以脉冲计数或码值的形式反馈。在数字系统中，位置量是离散的，其分辨率取决于反馈元件的线数或位数。例如，一个2500线增量式编码器经4倍频后，每圈可产生10000个脉冲，对应角分辨率0.036°。位置量的处理要点在于：必须区分单圈位置与多圈累积位置，并在控制切换时防止数据跳变。
速度在工程上极少直接通过位置微分获得，因为微分会放大编码器的量化噪声。更常用的方法包括：M法（测频法，适用于高速）、T法（测周期法，适用于低速）以及M/T法（自适应切换）。在伺服驱动器中，速度环的采样周期通常为125μs~1ms，速度反馈的平滑滤波与相位滞后需要权衡。
加速度直接测量成本高，通常由速度环输出或位置指令的二次差分获得。加速度前馈可以显著改善系统的跟随性能，但过高的加速度增益会引入机械谐振。现代驱动器常提供加速度前馈增益参数，建议从0开始逐步增加，观察跟踪误差的改善程度。
力/力矩在电机控制中对应电流环的给定。对于旋转电机，力矩与q轴电流成正比（Kt）；对于直线电机，推力与q轴电流成正比（Kf）。力矩控制的带宽最高，通常为速度环的5~10倍。在需要力控的场景（如打磨、装配）中，力矩指令需要经过低通滤波以抑制机械共振。
| 物理量 | 典型反馈元件 | 数字实现方式 | 控制环带宽 | 常见陷阱 |
|---|---|---|---|---|
| 位置 | 增量/编码器、光栅尺 | 脉冲计数、总线读取 | 最低（位置环） | 计数溢出、零点漂移 |
| 速度 | 编码器+测速算法 | M/T法、观测器 | 中（速度环） | 量化噪声、滤波滞后 |
| 加速度 | 加速度计（少见） | 二次差分、状态观测 | 较高（前馈） | 噪声放大、谐振激发 |
| 力/力矩 | 电流传感器、力矩传感器 | FOC中的iq闭环 | 最高（电流环） | 反电动势耦合、温漂 |
2.2 运动学与动力学：控制算法的边界划分
运动学描述的是几何关系，即位置、速度、加速度之间的映射，不涉及产生运动的力。动力学则研究力与运动之间的关系，即给定力矩如何产生加速度，以及运动如何反作用于力。在控制算法中，这两者的分工截然不同。
运动学用于轨迹规划与坐标变换。例如，在规划机器人末端从A点到B点的直线运动时，需要逆运动学求解各关节的角度序列。运动学模型是精确的，不依赖于负载变化。而动力学用于前馈补偿与动态性能提升。例如，在高速运动时，关节的惯性力、科里奥利力和重力矩会显著影响跟踪精度，动力学前馈可以补偿这些力矩。
对于单轴运动控制系统，动力学模型简化为：
J_total * α = τ_motor - τ_load - B * ω - τ_friction其中J_total为折算到电机轴的总惯量，α为角加速度，τ_motor为电机电磁力矩，τ_load为负载力矩，B为粘滞阻尼系数，τ_friction为库仑摩擦力矩。在实际调试中，惯量辨识是伺服整定的第一步，多数驱动器提供自动惯量辨识功能，其原理就是通过特定的激励信号（如正弦扫频或梯形波）测量电流与加速度的关系。
2.3 常用坐标系与变换：从关节空间到笛卡尔空间
运动控制中的坐标系分为两大类：关节空间和笛卡尔空间。关节空间以各运动轴的独立位置为坐标，例如六轴机器人的六个关节角度(q1~q6)，或直角坐标平台的(X,Y,Z)坐标。笛卡尔空间则以三维直角坐标和姿态角描述末端执行器的位姿。
坐标变换的核心是齐次变换矩阵，它将旋转和平移统一为4×4矩阵形式。对于相邻连杆之间的变换，使用Denavit-Hartenberg（D-H）参数法建立。正运动学是已知关节角求末端位姿，逆运动学则相反。在实时控制中，逆运动学的计算效率至关重要，通常需要针对具体机构进行解析解推导，而非使用数值迭代。
雅可比矩阵J(q)是连接关节速度与笛卡尔速度的桥梁：
v_cart = J(q) * q_dot同时，雅可比矩阵的转置将笛卡尔力映射为关节力矩：
τ = J(q)^T * F_cart这一关系在力控中极为重要。例如，在机器人恒力打磨场景中，期望在工具坐标系Z方向施加10N的力，通过雅可比转置即可计算出各关节所需的附加力矩。
2.4 实战场景：直角坐标平台的轨迹跟踪误差分析
考虑一个由两个直线电机驱动的XY平台，用于芯片贴装。平台行程400mm×400mm，最大速度1m/s，加速度2g。编码器分辨率0.5μm，速度环周期250μs，位置环周期1ms。初始调试中发现，在45°斜线轨迹运动时，跟踪误差达到±80μm，超出规格要求（±20μm）。
分析过程：首先检查位置环增益，发现X轴和Y轴的KP值均为30 1/s，理论上稳态误差应较小。进一步观察速度前馈量，发现速度前馈增益设置为0，导致系统在匀速段存在速度滞后误差。同时，加速度前馈未启用，在加减速段误差明显增大。
操作步骤：
- 将速度前馈增益设为100%，观察匀速段误差是否减小。结果显示误差从±80μm降至±30μm。
- 启用加速度前馈，初始增益设为50%，逐步增加至80%。加减速段误差进一步减小至±15μm。
- 检查两轴动态特性是否一致。通过阶跃响应测试发现Y轴响应略慢，调整Y轴速度环比例增益，使两轴带宽一致。
- 最终在45°斜线测试中，最大跟踪误差为±12μm，满足规格。
复盘要点：跟踪误差的构成包括速度滞后误差、加速度滞后误差和轮廓误差。速度前馈消除匀速段误差，加速度前馈消除加减速段误差，而两轴动态不匹配则产生轮廓误差。在调试中应逐项分离并补偿。