三、Z变换与系统函数：Z变换定义、收敛域、逆Z变换、系统函数与零极点分析、稳定性判据
Z变换是分析和设计离散时间信号与系统（尤其是数字滤波器与数字控制器）的核心数学工具。它把差分方程从时域映射到复频域（z域），将卷积运算转化为乘法运算，将系统的稳定性、频率响应、因果性等关键属性浓缩为系统函数H(z)的零极点分布。本章将系统梳理Z变换的定义与收敛域（ROC）、逆Z变换的求解方法、系统函数与零极点分析，以及基于零极点位置的稳定性判据，并通过一个完整的IIR滤波器设计案例串联全部知识点。
3.1 核心原理：Z变换定义与收敛域
离散时间信号x[n]的Z变换定义为：X(z) = Σₙ₌₋∞⁺∞ x[n]·z⁻ⁿ，其中z是复变量。Z变换是拉普拉斯变换在离散域的对应物，它将序列映射到复平面。实际工程中，我们更常使用单边Z变换（求和下限为n=0），因为大多数数字信号处理系统是因果的，且单边变换便于处理初始条件。
收敛域（ROC）是使上述级数收敛的z值集合，其形状决定了系统的因果性与稳定性。ROC的确定规则如下：
- 有限长序列：ROC为整个z平面（可能除去z=0或z=∞）。
- 右边序列（n≥n₀）：ROC为某个圆的外部，即|z| > rₘₐₓ（rₘₐₓ为最外侧极点模值）。
- 左边序列（n≤n₀）：ROC为某个圆的内部，即|z| < rₘᵢₙ（rₘᵢₙ为最内侧非零极点模值）。
- 双边序列：ROC为环形区域，即r₁ < |z| < r₂。
ROC与系统性质直接关联：因果系统的冲激响应h[n]是右边序列，其ROC必为某个圆的外部且包含∞；稳定系统要求h[n]可和，即ROC必须包含单位圆|z|=1。因此，一个既因果又稳定的系统，其所有极点必须位于单位圆内部。
3.2 判断方法：逆Z变换的三种求解路径
从X(z)恢复时域序列x[n]的过程称为逆Z变换。工程中常用以下三种方法，按适用场景选择：
| 方法 | 适用场景 | 操作要点 | 优缺点 |
|---|---|---|---|
| 部分分式展开法 | X(z)为有理分式，且阶次不高 | 将X(z)展开为简单分式之和，查表求逆 | 最常用，直观；需处理重极点 |
| 幂级数展开（长除法） | 需要前N个序列值，或X(z)形式复杂 | 按z⁻¹的升幂做长除法，系数即为x[n] | 适合数值计算；难以得到闭式解 |
| 留数法（围线积分） | 理论推导，或X(z)含超越函数 | x[n] = (1/2πj)∮X(z)zⁿ⁻¹dz，计算留数 | 最通用；计算繁琐，工程中少用 |
部分分式展开法操作流程：
- 将X(z)化为关于z⁻¹的有理分式，并确保分子阶次低于分母（否则先做多项式除法）。
- 对分母多项式因式分解，确定极点。
- 根据极点的类型（单极点、重极点、共轭复极点）写出部分分式展开形式。
- 利用留数法或待定系数法求解各分式的系数。
- 根据ROC判断每一项对应的时域序列形式（因果或反因果），查标准Z变换表写出x[n]。
3.3 系统函数与零极点分析
对于线性时不变离散系统，系统函数定义为H(z) = Y(z)/X(z)，即输出Z变换与输入Z变换之比。H(z)完全描述了系统的固有特性，与输入无关。由差分方程可直接写出H(z)：
差分方程: y[n] + a₁y[n-1] + ... + a_N y[n-N] = b₀x[n] + b₁x[n-1] + ... + b_M x[n-M]
系统函数: H(z) = (b₀ + b₁z⁻¹ + ... + b_M z⁻ᴹ) / (1 + a₁z⁻¹ + ... + a_N z⁻ᴺ)对H(z)的分子和分母多项式分别因式分解，得到零点和极点：
H(z) = K · [∏(1 - zₖz⁻¹)] / [∏(1 - pₖz⁻¹)]
其中zₖ为零点，pₖ为极点。零极点图是z平面上的直观表示（×表示极点，○表示零点）。零极点位置决定了系统的频率响应：
- 零点：在单位圆上的零点使该频率响应为零（陷波）；靠近单位圆的零点使该频率处幅度显著衰减。
- 极点：靠近单位圆的极点使该频率处幅度显著增强（谐振）；极点越接近单位圆，谐振峰越尖锐，但稳定性裕度越小。
- 频率响应：H(e^{jω}) = H(z)|_{z=e^{jω}}，即沿单位圆取值。幅度响应为各零点到单位圆上点的距离之积除以各极点到该点的距离之积，再乘以增益K。
3.4 稳定性判据与工程应用
系统的BIBO稳定性（有界输入有界输出）在z域有简洁的判据：系统稳定当且仅当H(z)的ROC包含单位圆。对于因果系统，这等价于所有极点的模值小于1，即全部位于单位圆内。若极点在单位圆上，系统临界稳定（等幅振荡）；若在单位圆外，系统不稳定（发散）。
工程中常用的稳定性检查步骤：
- 由差分方程或电路结构写出H(z)。
- 求解分母多项式的根（极点）。
- 计算每个极点的模值|pₖ|。
- 若所有|pₖ| < 1，则系统稳定；若有|pₖ| = 1，则临界稳定；若有|pₖ| > 1，则不稳定。
对于高阶系统，直接求根可能数值不稳定，可改用朱利判据（Jury's test）或劳斯-赫尔维茨判据的离散版本，通过系数表判断是否有根在单位圆外，无需显式求根。
3.5 案例拆解：二阶IIR滤波器的设计与稳定性验证
背景与目标：设计一个数字低通滤波器，用于从50Hz工频干扰中提取5Hz的微弱生物电信号。采样率fₛ=200Hz，要求通带纹波小于1dB，阻带衰减大于20dB，且系统必须稳定。
初始方案与问题：采用双线性变换法从模拟巴特沃斯滤波器映射得到数字滤波器。设计出的二阶系统函数为：
H(z) = (0.0675 + 0.1349z⁻¹ + 0.0675z⁻²) / (1 - 1.1430z⁻¹ + 0.4128z⁻²)分析过程：首先检查稳定性。求解分母极点：
p₁,₂ = (1.1430 ± √(1.1430² - 4×0.4128)) / 2
= (1.1430 ± √(1.3064 - 1.6512)) / 2
= (1.1430 ± √(-0.3448)) / 2
= 0.5715 ± j0.2936
|p₁| = |p₂| = √(0.5715² + 0.2936²) = √(0.3266 + 0.0862) = √0.4128 ≈ 0.6425 < 1极点模值约0.64，位于单位圆内，系统稳定。进一步绘制零极点图：零点在z=-1（单位圆上），提供高频衰减；极点共轭对在0.5715±j0.2936，对应谐振频率约为f = (fs/2π)·arctan(0.2936/0.5715) ≈ (200/6.283)·0.474 ≈ 15.1Hz，靠近通带边缘，可增强低频增益。
实际操作与验证：在MATLAB中计算频率响应，验证通带纹波与阻带衰减。仿真结果显示：5Hz处增益为-0.3dB，50Hz处增益为-28dB，满足指标。但发现一个问题：零点在z=-1（对应奈奎斯特频率100Hz），导致高频衰减极大，但同时也引入了相位非线性。对于生物电信号，相位失真可能影响波形形态，因此需要评估。
结果对比与代价：若改用椭圆滤波器，可在相同阶数下获得更陡的过渡带，但通带纹波更大（0.5dB），且零极点分布更靠近单位圆，稳定性裕度降低。最终方案选择巴特沃斯型，因其相位响应更平滑，且极点模值0.64留有足够裕度，即使系数因定点化量化而偏移，也不易导致不稳定。
复盘经验：① 设计滤波器后必须验证极点位置，不能仅依赖理论计算；② 定点实现时，系数量化可能使极点向单位圆外移动，需留出至少0.1的模值裕度；③ 零点在单位圆上虽不影响稳定性，但会影响相位，需根据应用场景权衡。