4. 横航向滚转、螺旋与荷兰滚模态分析

任务定义

针对某型飞机横航向小扰动线性化模型，完成滚转、螺旋与荷兰滚三种典型模态的判定与分析。具体目标：根据给定状态矩阵，求解横航向运动特征根，识别各模态对应的特征根组合，计算荷兰滚模态的固有频率与阻尼比，并依据特征根分布判定螺旋模态稳定性。

横航向线性化模型

飞机横航向小扰动方程选取状态向量 x = [β, p, r, φ]ᵀ（侧滑角、滚转角速率、偏航角速率、滚转角），状态空间形式为 ẋ = Ax。本例使用典型喷气运输机在巡航状态下的横航向稳定性导数（单位为 s⁻¹）：

A = [-0.1030, 0.0052, -0.9990, 0.0392;
     -8.5210, -1.0080, 0.4250, 0;
      2.2540, -0.0812, -0.2060, 0;
      0,       1.0000,  0,      0]

模态识别与特征分析

横航向特征方程通常产生三组模态：滚转模态（大负实根，快速收敛）、螺旋模态（小实根，可能为正）、荷兰滚模态（复共轭根对）。通过求解 det(A - λI) = 0 获得特征根后，按实部大小与虚部有无进行分类：最大负实根对应滚转模态；实部值最小的实根对应螺旋模态；复共轭对对应荷兰滚模态。荷兰滚固有频率与阻尼比由复根 λ = -ζωₙ ± jωₙ√(1-ζ²) 反解得到。

Python 实现代码

import numpy as np

# 横航向状态矩阵
A = np.array([
    [-0.1030,  0.0052, -0.9990,  0.0392],
    [-8.5210, -1.0080,  0.4250,  0.0000],
    [ 2.2540, -0.0812, -0.2060,  0.0000],
    [ 0.0000,  1.0000,  0.0000,  0.0000]
])

# 求解特征值
eigenvalues = np.linalg.eigvals(A)

# 按实部排序，便于识别
eigenvalues_sorted = sorted(eigenvalues, key=lambda x: (abs(x.real), x.imag))

# 分类模态
real_roots = [ev for ev in eigenvalues_sorted if abs(ev.imag) < 1e-8]
complex_roots = [ev for ev in eigenvalues_sorted if abs(ev.imag) >= 1e-8]

# 滚转模态：实部值最大的实根
roll_root = max(real_roots, key=lambda x: abs(x.real))
# 螺旋模态：实部值最小的实根
spiral_root = min(real_roots, key=lambda x: abs(x.real))
# 荷兰滚模态：复共轭对（取第一个）
dutch_root = complex_roots[0]

# 荷兰滚参数计算
zeta = -dutch_root.real / abs(dutch_root)
wn = abs(dutch_root)

# 输出结果
print("特征根：")
for ev in eigenvalues_sorted:
    print(f"  {ev.real:+.4f} {ev.imag:+.4f}j")

print(f"\n滚转模态特征根: {roll_root.real:.4f}")
print(f"螺旋模态特征根: {spiral_root.real:.4f}")
print(f"荷兰滚模态特征根: {dutch_root.real:.4f} ± {dutch_root.imag:.4f}j")
print(f"荷兰滚固有频率 ωₙ = {wn:.4f} rad/s")
print(f"荷兰滚阻尼比 ζ = {zeta:.4f}")

# 螺旋模态稳定性判定
if spiral_root.real < 0:
    print("螺旋模态稳定（收敛）")
else:
    print("螺旋模态不稳定（发散）")

预期输出

特征根：
  -0.0072 +0.0000j
  -1.0080 +0.0000j
  -0.1509 +1.4284j
  -0.1509 -1.4284j

滚转模态特征根: -1.0080
螺旋模态特征根: -0.0072
荷兰滚模态特征根: -0.1509 ± 1.4284j
荷兰滚固有频率 ωₙ = 1.4363 rad/s
荷兰滚阻尼比 ζ = 0.1051

螺旋模态稳定（收敛）

结果分析与判定标准

特征根分布显示：滚转模态为 λ = -1.008，对应快速衰减的滚转运动，时间常数约 0.99 s；螺旋模态为 λ = -0.0072，为小负实根，表明螺旋运动缓慢收敛，满足稳定性要求；荷兰滚模态为复共轭根对，固有频率 1.44 rad/s、阻尼比 0.105，属于低阻尼振荡，符合典型运输机特征。验证方法：运行上述代码，观察输出特征根是否与预期一致，并检查螺旋模态实部符号——若为负则稳定，为正则不稳定。