1. 比例导引律基础仿真

任务定义

在二维平面内建立导弹—目标相对运动模型，目标以匀速直线运动飞行，导弹采用纯比例导引律（PPN）控制速度方向。通过数值积分仿真弹道，对比不同导航常数 N 下的拦截效果，观察过载需求与弹道弯曲程度的变化。

数学模型

采用极坐标系描述相对运动。设视线角为 λ，弹目相对距离为 r，导弹速度 V_m，目标速度 V_t。纯比例导引律指令加速度垂直于视线方向：

a_cmd = N · V_m · λ̇

其中 λ̇ 为视线角速率，N 为导航常数（通常取 3~5）。导弹速度大小恒定，方向由航迹角 γ_m 控制，其变化率为：

γ̇_m = a_cmd / V_m

仿真中直接对导弹和目标的位置进行积分，每步更新视线角及其速率，计算指令加速度并更新导弹航迹角。

仿真代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 仿真参数
dt = 0.001          # 积分步长 (s)
t_end = 30.0        # 最大仿真时间 (s)
N_list = [2, 3, 4, 5]  # 导航常数

# 初始条件
r0 = 5000.0         # 初始距离 (m)
lambda0 = np.deg2rad(30.0)   # 初始视线角 (rad)
Vm = 300.0          # 导弹速度 (m/s)
Vt = 150.0          # 目标速度 (m/s)
theta_t = np.deg2rad(180.0)  # 目标航向 (rad)，朝正西飞行

# 目标初始位置
xt0 = r0 * np.cos(lambda0)
yt0 = r0 * np.sin(lambda0)

# 导弹初始位置（原点）
xm0, ym0 = 0.0, 0.0

# 导弹初始航迹角（指向目标）
gamma_m0 = lambda0

def simulate(N):
    xm, ym = xm0, ym0
    xt, yt = xt0, yt0
    gamma_m = gamma_m0
    t = 0.0
    hit = False
    miss_dist = 0.0
    
    while t < t_end:
        # 相对位置
        dx = xt - xm
        dy = yt - ym
        r = np.hypot(dx, dy)
        
        if r < 10.0:  # 脱靶量小于10m视为命中
            hit = True
            miss_dist = r
            break
            
        # 视线角与视线角速率
        lambda_cur = np.arctan2(dy, dx)
        # 目标位置更新（匀速直线）
        xt_new = xt0 + Vt * np.cos(theta_t) * (t + dt)
        yt_new = yt0 + Vt * np.sin(theta_t) * (t + dt)
        lambda_next = np.arctan2(yt_new - ym, xt_new - xm)
        lambda_dot = (lambda_next - lambda_cur) / dt
        
        # 比例导引指令
        a_cmd = N * Vm * lambda_dot
        # 限幅（最大过载 5g）
        a_max = 5 * 9.8
        a_cmd = np.clip(a_cmd, -a_max, a_max)
        
        # 更新导弹航迹角和位置
        gamma_m += (a_cmd / Vm) * dt
        xm += Vm * np.cos(gamma_m) * dt
        ym += Vm * np.sin(gamma_m) * dt
        
        # 更新目标位置
        xt = xt_new
        yt = yt_new
        t += dt
    
    return xm, ym, xt, yt, t, hit, miss_dist, gamma_m

# 运行仿真
plt.figure(figsize=(10, 8))
colors = ['r', 'g', 'b', 'm']

for i, N in enumerate(N_list):
    xm, ym, xt, yt, t_final, hit, miss, gamma_f = simulate(N)
    
    # 重新生成完整弹道用于绘图
    xm_arr, ym_arr = [xm0], [ym0]
    xm, ym = xm0, ym0
    xt, yt = xt0, yt0
    gamma_m = gamma_m0
    t = 0.0
    
    while t < t_end:
        dx = xt - xm
        dy = yt - ym
        r = np.hypot(dx, dy)
        if r < 10.0:
            break
            
        lambda_cur = np.arctan2(dy, dx)
        xt_new = xt0 + Vt * np.cos(theta_t) * (t + dt)
        yt_new = yt0 + Vt * np.sin(theta_t) * (t + dt)
        lambda_next = np.arctan2(yt_new - ym, xt_new - xm)
        lambda_dot = (lambda_next - lambda_cur) / dt
        
        a_cmd = N * Vm * lambda_dot
        a_max = 5 * 9.8
        a_cmd = np.clip(a_cmd, -a_max, a_max)
        
        gamma_m += (a_cmd / Vm) * dt
        xm += Vm * np.cos(gamma_m) * dt
        ym += Vm * np.sin(gamma_m) * dt
        xt, yt = xt_new, yt_new
        t += dt
        
        xm_arr.append(xm)
        ym_arr.append(ym)
    
    plt.plot(xm_arr, ym_arr, colors[i], linewidth=1.5, label=f'N={N}')
    print(f'N={N}: 仿真时间={t:.2f}s, 命中={hit}, 最终脱靶量={np.hypot(xt-xm, yt-ym):.2f}m')

# 目标轨迹
t_plot = np.linspace(0, 20, 100)
xt_plot = xt0 + Vt * np.cos(theta_t) * t_plot
yt_plot = yt0 + Vt * np.sin(theta_t) * t_plot
plt.plot(xt_plot, yt_plot, 'k--', linewidth=2, label='目标轨迹')
plt.plot(xm0, ym0, 'ko', markersize=8)
plt.plot(xt0, yt0, 'ks', markersize=8)
plt.xlabel('X (m)')
plt.ylabel('Y (m)')
plt.title('比例导引律弹道仿真')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.savefig('ppn_trajectories.png', dpi=150)
plt.show()

运行与验证

运行环境需安装 numpy 和 matplotlib。执行代码后，终端输出各导航常数对应的仿真时间与最终脱靶量，同时显示弹道曲线图。

判定标准：

• N=2 时弹道弯曲较大，可能需要更长仿真时间或无法命中（脱靶量较大）；
• N=3~5 时弹道逐渐平直，命中时间缩短，最终脱靶量小于 10m；
• 图中可见 N 越大，导弹初始段转弯越平缓，弹道越接近直线。

预期结果分析

导航常数 N 是比例导引律的核心增益。N 较小时（如 N=2），视线角速率反馈弱，导弹需持续大过载转弯，弹道弯曲明显，拦截时间较长；N 增大后，导弹对视线旋转的响应更灵敏，弹道趋于平直，所需过载峰值下降。但 N 过大会导致对视线角速率噪声敏感，工程上通常取 3~5。仿真中可通过修改 N_list 中的数值观察弹道变化趋势，并记录不同 N 值下的命中时间与脱靶量进行定量对比。