📚 课程目录第4章质量不确定的鲁棒自适应

4. 质量不确定的鲁棒自适应

任务定义

飞行器在飞行过程中因燃料消耗或载荷变化导致质量不确定，但已知质量界限：m ∈ [m_min, m_max]。设飞行器纵向动力学为：

m·a = u + d(t)

其中a为加速度，u为控制输入，d(t)为有界扰动（|d(t)| ≤ D）。目标：设计鲁棒自适应控制器，使实际加速度a(t)跟踪期望轨迹a_ref(t)，且跟踪误差一致最终有界。

控制器设计

定义跟踪误差e = a − a_ref。取控制律：

u = m̂·a_ref − k·e − v

其中m̂为质量估计值，k > 0为反馈增益，v为鲁棒补偿项。代入动力学得误差方程：

m·ė = −k·e + (m − m̂)·a_ref + d(t) − v

采用投影自适应律保证m̂ ∈ [m_min, m_max]：

m̂̇ = γ·a_ref·e − γ·a_ref·e·Proj(m̂)

其中γ > 0为自适应增益，投影算子Proj(m̂)在m̂到达边界时抑制参数漂移。鲁棒项取：

v = D·sign(e) + ρ·sign(e)

其中ρ = |a_ref|·(m_max − m_min)为质量不确定上界补偿。该设计保证V = ½m·e² + ½γ⁻¹·m̃²（m̃ = m̂ − m）满足V̇ ≤ −k·e²，从而跟踪误差渐近收敛。

Python仿真实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 系统参数
m_true = 8.0          # 真实质量(kg)
m_min, m_max = 5.0, 12.0
D = 0.5               # 扰动上界
k = 3.0               # 反馈增益
gamma = 2.0           # 自适应增益

# 期望轨迹
def a_ref(t):
    return 2.0 * np.sin(0.5 * t)

# 仿真参数
dt = 0.001
T = 10.0
n_steps = int(T / dt)
t_arr = np.linspace(0, T, n_steps)

# 状态初始化
a = 0.0
m_hat = (m_min + m_max) / 2
e_arr = []
m_hat_arr = []
a_arr = []

# 投影算子
def project(m_hat, update):
    if m_hat <= m_min and update < 0:
        return 0.0
    if m_hat >= m_max and update > 0:
        return 0.0
    return update

# 仿真主循环
for t in t_arr:
    ref = a_ref(t)
    e = a - ref
    ref_dot = 1.0 * np.cos(0.5 * t)  # a_ref的导数
    
    # 控制律
    rho = abs(ref_dot) * (m_max - m_min)
    v = D * np.sign(e) + rho * np.sign(e)
    u = m_hat * ref_dot - k * e - v
    
    # 扰动(有界)
    d = D * np.sin(3.0 * t)
    
    # 动力学更新
    a_dot = (u + d) / m_true
    a += a_dot * dt
    
    # 自适应律(带投影)
    update = gamma * ref_dot * e
    m_hat += project(m_hat, update) * dt
    
    # 记录数据
    e_arr.append(e)
    m_hat_arr.append(m_hat)
    a_arr.append(a)

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t_arr, a_arr, label='实际加速度')
plt.plot(t_arr, [a_ref(t) for t in t_arr], '--', label='期望加速度')
plt.ylabel('加速度 (m/s²)')
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t_arr, e_arr, label='跟踪误差')
plt.plot(t_arr, m_hat_arr, label='质量估计')
plt.axhline(m_true, color='r', linestyle=':', label='真实质量')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('误差 / 质量')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.savefig('robust_adaptive_result.png', dpi=100)
plt.show()

运行与验证

依赖：Python 3 + NumPy + Matplotlib。

运行方式：将代码保存为robust_adaptive.py，执行python robust_adaptive.py。

判定标准：

仿真结束后，跟踪误差e(t)收敛至零附近（稳态幅值小于0.1 m/s²）；
质量估计m̂(t)始终保持在[5, 12]区间内，不越界；
控制输入u有界且无高频抖振（可通过在代码中增加u_arr记录观察）。

满足以上三点即判定鲁棒自适应控制器设计有效。