3. 失效率基本度量与统计描述
在可靠性工程中，描述一批器件“坏得快不快”不能只靠一句“质量好”或“寿命长”，而必须用一组彼此可换算的统计函数来刻画。最核心的五个量是：失效密度 f(t)、累积失效分布 F(t)、可靠度 R(t)、失效率 λ(t)，以及平均寿命 MTTF/MTBF。它们从不同角度描述同一个随机失效过程，理解它们之间的换算关系，是后续应力模型与失效率预计的基础。
一、五个基本量的定义
设器件的寿命 T 是一个非负随机变量。失效密度 f(t) 表示在 t 时刻单位时间内发生失效的概率密度，量纲为 1/时间；累积失效分布 F(t) 表示器件在 t 时刻之前已经失效的概率，即 F(t)=P(T≤t)；可靠度 R(t) 表示器件工作到 t 时刻仍未失效的概率，即 R(t)=P(T>t)。三者满足最基本的归一关系：
F(t) + R(t) = 1
R(t) = ∫[t,∞] f(τ)dτ
f(t) = dF(t)/dt = -dR(t)/dt失效率 λ(t) 则是一个条件概率密度：器件已经工作到 t 时刻仍未失效，在接下来的单位时间内发生失效的概率。它把“存活到 t”作为前提，因此与 f(t) 不同：
λ(t) = f(t) / R(t)由该式可推出可靠度与失效率的通用关系：R(t)=exp[−∫₀ᵗ λ(τ)dτ]。当 λ(t) 为常数 λ 时，退化为指数分布 R(t)=e^(−λt)，f(t)=λe^(−λt)，F(t)=1−e^(−λt)。这是工程中最常用、也最容易手算的情形。
二、平均寿命 MTTF 与 MTBF
MTTF（Mean Time To Failure）指不可修复产品从开始工作到失效的平均时间；MTBF（Mean Time Between Failures）指可修复产品两次相邻失效之间的平均工作时间。二者数学定义相同，都是寿命的期望值：
MTTF = ∫[0,∞] t·f(t)dt = ∫[0,∞] R(t)dt对指数分布，MTTF=1/λ。例如某类电容在 40 ℃、额定电压下 λ=5×10⁻⁷ /h，则 MTTF=1/λ=2×10⁶ h，约合 228 年。这个数字看起来极大，但它描述的是大批器件的统计平均，并不意味着单个电容一定能用 228 年。工程上更常关注的是“在给定任务时间内有多少比例会失效”，即 F(t)。
三、浴盆曲线与 λ(t) 的工程解读
λ(t) 随时间的变化通常呈“浴盆”形状：早期为下降的早期失效期（DIFR），中间为近似恒定的偶然失效期，后期为上升的耗损失效期（wear-out）。不同阶段对应不同的物理机理：早期失效多由制造缺陷、工艺污染引起；偶然失效多由随机过应力、宇宙射线、电迁移等随机事件引起；耗损失效则由磨损、氧化层击穿、电解液干涸等累积损伤引起。失效率预计模型（如 MIL-HDBK-217、Telcordia SR-332）给出的 λ 通常对应偶然失效期的恒定失效率，因此使用时必须确认器件是否已进入耗损阶段。
四、换算关系与工程计算示例
下面用一个具体示例把五个量串起来。假设某型号 MOSFET 在 55 ℃、漏源电压 80% 额定值下，由应力模型预计得到恒定失效率 λ=2×10⁻⁶ /h。要求评估其在 1000 h 任务时间内的可靠度与失效比例。
已知：λ = 2×10⁻⁶ /h，t = 1000 h
R(t) = e^(−λt) = e^(−2×10⁻⁶ × 1000) = e^(−0.002) ≈ 0.9980
F(t) = 1 − R(t) ≈ 0.0020（即 0.20%）
f(t) = λ·R(t) ≈ 2×10⁻⁶ × 0.9980 ≈ 1.996×10⁻⁶ /h
MTTF = 1/λ = 5×10⁵ h解读：在 1000 h 内约 0.20% 的器件会失效，可靠度约 99.80%。若系统由 100 只该器件串联组成，且失效相互独立，则系统可靠度约为 0.9980¹⁰⁰≈0.819，即约 18% 的系统会在 1000 h 内因至少一只器件失效而失效。这说明单器件 λ 看似很小，但串联数量放大后系统失效率近似为各器件之和，工程上必须做系统级预计。
五、使用中的常见误区
- 把 MTTF 当作保证寿命。MTTF 是统计均值，指数分布下约 63.2% 的器件会在 MTTF 之前失效（因为 F(MTTF)=1−e⁻¹≈0.632）。
- 用 1/λ(t) 计算非恒定失效率下的 MTTF。只有 λ 为常数时 MTTF=1/λ 才成立，否则必须积分 ∫R(t)dt。
- 混淆 f(t) 与 λ(t)。f(t) 是无条件密度，λ(t) 是以存活为条件的失效率；在 t 较小时二者数值接近，但随 t 增大差异显著。
- 忽略任务时间与温度。λ 随结温、电压、湿度等应力变化，同一器件在不同应力下的 λ 可相差数倍，必须结合应力模型取值。