一、轨迹规划概述

各位同学好，我是这门课的主讲。在机器人领域摸爬滚打了十几年，我越来越觉得——轨迹规划才是机器人真正「智能」的分水岭。

你想想看，一个机器人能感知、能决策，但如果连个杯子都端不稳、连条路都走不顺，那前面做的所有工作都白费了。说白了，轨迹规划就是让机器人动得优雅、动得安全、动得高效的那门手艺。

1.1 什么是轨迹规划

先给个定义。轨迹规划，就是在满足运动学和动力学约束的前提下，生成一条从起点到终点的、连续且平滑的运动路径。

注意，这里有两个关键词：

• 路径（Path）：只关心空间几何形状，不关心时间。比如「从A点直线走到B点」。
• 轨迹（Trajectory）：路径 + 时间信息。比如「从A点直线走到B点，用时2秒，速度先加速后减速」。

我刚开始做项目时，经常把这两个概念混着用。直到有一次给机械臂做焊接任务，路径明明是对的，但焊出来的焊缝全是疙瘩——后来才发现，是速度规划没做好，焊枪在拐角处停了一下。嗯，从那以后我再也不敢把「路径」和「轨迹」混为一谈了。

1.2 轨迹规划在机器人系统中的地位

一个完整的机器人系统，通常包含这几个模块：

1. 感知：看世界、理解世界（摄像头、激光雷达）
2. 定位：知道自己在哪里（SLAM、里程计）
3. 决策：决定下一步做什么（任务规划、行为树）
4. 轨迹规划：决定怎么动（路径 + 时间）
5. 控制：执行轨迹（PID、MPC）

轨迹规划处在决策层和控制层之间，是承上启下的关键一环。决策层说「去抓那个杯子」，轨迹规划就要算出一系列关节角度和速度，让控制器去跟踪。

为什么会这样？因为轨迹规划直接决定了：

• 安全性：会不会撞墙、会不会自碰撞
• 舒适性：加速度突变会不会让负载晃动
• 效率：能不能在最短时间内完成任务
• 能耗：电机能不能吃得消

1.3 常见应用场景

轨迹规划不是实验室里的玩具，它在三个领域用得最多、也最成熟。

1.3.1 机械臂

机械臂的轨迹规划，核心是关节空间和笛卡尔空间两条路线。

对比项	关节空间规划	笛卡尔空间规划
规划对象	每个关节的角度、角速度	末端执行器的位置、姿态
优点	计算快、无奇异点问题	路径直观、适合直线/圆弧
缺点	末端路径不可控	可能有奇异点、计算量大
典型应用	点对点搬运、码垛	焊接、涂胶、铣削

我记得有一次做汽车白车身焊接项目，客户要求焊枪必须沿直线运动。我一开始偷懒用了关节空间规划，结果焊出来的轨迹是弧线——直接被客户怼回来了。后来老老实实换成笛卡尔空间规划，加了个S型速度曲线，才搞定。

1.3.2 自动驾驶

自动驾驶的轨迹规划，通常分三层：

• 路由规划：从A到B走哪条路（全局路径）
• 行为规划：什么时候变道、什么时候让行
• 运动规划：具体的方向盘转角、油门开度

我们这门课主要关注运动规划这一层。自动驾驶里最经典的轨迹规划方法，就是Frenet坐标系下的横向-纵向解耦规划。

简单说，就是把「车怎么走」拆成两个问题：

• 横向：车在车道里的左右偏移
• 纵向：车沿着车道的前后速度

这样做的好处是，你可以分别优化。比如前面有车，纵向就减速；车道变窄，横向就往中间靠。两个方向合起来，就是一条完整的轨迹。

1.3.3 无人机

无人机轨迹规划和地面机器人最大的区别在于——三维空间 + 动力学约束更复杂。

无人机不能像车一样急转弯，它有最小转弯半径、最大俯仰角、最大爬升率。而且无人机通常没有「路」的概念，需要在三维空间里自由规划。

我做过一个无人机编队表演的项目，核心就是轨迹规划。每架无人机要飞出一条平滑的3D曲线，同时还要保证：

• 不撞到其他无人机
• 灯光变化和轨迹同步
• 电池续航够用

那段时间我天天和B样条曲线、时间最优规划打交道。说实话，看到几百架无人机在夜空里画出图案的那一刻，还是挺有成就感的。

1.4 本章知识体系

下面这张图，是我自己梳理的轨迹规划知识体系。你可以把它当成这门课的「地图」。

这张图把轨迹规划分成了三个应用方向，以及它们底层的核心方法。你会发现，不管哪个方向，最后都会落到多项式插值、最优控制、搜索采样这三类方法上。这也是我们这门课要重点讲的内容。

1.5 学习路径建议

最后，给刚入门的同学一点建议。我见过太多人一上来就啃、调MPC，结果连最基本的梯形速度曲线都写不对。

我的建议是：

• 先动手：用Python写一个简单的点到点轨迹规划，用matplotlib画出来看看
• 再理解：搞清楚为什么要有加加速度约束、为什么S型曲线比梯形曲线好
• 最后深入：再去学MPC、RRT*、B样条这些进阶内容

这门课也是按这个思路设计的。前几章我们会从最基础的轨迹表示和插值方法讲起，慢慢深入到最优控制和避障规划。你跟着走，不会掉队。