4. 运动学模型：差速轮模型、阿克曼模型、全向轮模型，正逆运动学解算

聊到移动机器人的运动学，说白了就是回答两个问题：“我给了轮子什么速度，车体会怎么动？” 和 “我想让车体怎么动，轮子该转多快？”。前者叫正运动学，后者叫逆运动学。

我在项目里见过不少新手，一上来就调PID，结果车跑起来歪歪扭扭。查了半天，发现是运动学模型搞错了。嗯，基础不牢，地动山摇。今天咱们就把三种最常见的轮式模型掰开揉碎讲清楚。

4.1 差速轮模型

差速轮，最常见，也最直观。两个驱动轮独立控制，再加一个或两个万向轮做支撑。靠左右轮的速度差来实现转向。

4.1.1 正运动学解算

已知左右轮转速，求车体速度。公式其实很简单：

v = (v_right + v_left) / 2
ω = (v_right - v_left) / L

这里 v 是车体线速度，ω 是角速度，L 是轮距（左右轮中心距）。

4.1.2 逆运动学解算

反过来，给定目标速度和角速度，求左右轮转速：

v_right = v + (ω * L) / 2
v_left  = v - (ω * L) / 2

你看，其实就是正解的反推。但这里有个坑——轮子转速不能超过电机最大转速。我遇到过一回，给了一个很大的角速度指令，结果算出来的右轮转速直接爆表，电机堵转，车原地打转。所以逆解算之后，一定要加个限幅处理。

4.2 阿克曼模型

阿克曼模型，就是汽车转向模型。前轮转向，后轮驱动。它的核心是：转弯时，所有轮子的轴线要交于一点，这个点就是瞬时转动中心（ICR）。

4.2.1 几何关系

阿克曼转向的几何约束，说白了就是内侧轮转角要比外侧轮大一点。公式：

cot(δ_outer) - cot(δ_inner) = L / W

其中 L 是轴距，W 是轮距，δ 是转向角。

我建议你在做阿克曼底盘时，先画个图。把四个轮子的位置标出来，然后画一条通过后轴中点的垂线，再从前轮中心画两条线交于后轴延长线上。嗯，几何关系一目了然。

4.2.2 正逆运动学

正运动学：已知转向角 δ 和后轮速度 v，求车体状态：

v_body = v
ω = v * tan(δ) / L

逆运动学：已知目标 v 和 ω，求转向角和后轮速度：

δ = atan2(ω * L, v)
v_rear = v

4.3 全向轮模型

全向轮，也叫麦克纳姆轮。它的特点是：可以横向移动。每个轮子有多个小辊子，与地面接触时会产生斜向的摩擦力。

我个人觉得，全向轮是三种模型里最“反直觉”的。你让四个轮子都正转，车不一定往前走，可能斜着跑。为什么？因为辊子的角度决定了力的方向。

4.3.1 正运动学解算

以四轮麦克纳姆轮为例，假设辊子与轮子轴线成 45 度角。正运动学公式：

v_x = (v_fl + v_fr + v_rl + v_rr) / 4
v_y = (-v_fl + v_fr + v_rl - v_rr) / 4
ω   = (-v_fl + v_fr - v_rl + v_rr) / (4 * (L + W))

这里 v_fl 是左前轮转速，v_fr 是右前轮，以此类推。L 是半轴距，W 是半轮距。

4.3.2 逆运动学解算

逆解算就是把上面的矩阵求逆。给定目标 v_x、v_y、ω：

v_fl = v_x - v_y - ω * (L + W)
v_fr = v_x + v_y + ω * (L + W)
v_rl = v_x + v_y - ω * (L + W)
v_rr = v_x - v_y + ω * (L + W)

4.4 三种模型对比

我把三种模型的核心差异整理成了一张表，方便你对照：

4.5 知识体系总览

下面这张图，把三种模型的正逆运动学关系串起来了。你可以把它当作本章的“地图”：

4.6 实际项目中的选型建议

说了这么多理论，最后聊聊怎么选。我个人的经验是：

• 差速轮：适合室内平地、需要频繁原地转向的场景。比如扫地机器人、服务机器人。成本低，控制简单。
• 阿克曼：适合室外、高速场景。比如无人配送车、自动驾驶汽车。转弯半径大，但高速稳定性好。
• 全向轮：适合狭窄空间、需要横向移动的场景。比如仓储机器人、手术室转运车。但地面必须干净平整。