3. 滤波器基础：一阶低通滤波器的原理与实现，截止频率的选择策略

做控制这么多年，我遇到过最头疼的问题之一，就是传感器信号里的高频噪声。你想想看，明明电机转得好好的，反馈回来的速度却像心电图一样上下乱跳。这时候，一阶低通滤波器就是我们的第一道防线。

说白了，它就是让低频信号通过，把高频噪声滤掉。原理不复杂，但用好了能省很多事。我刚开始做无人机飞控时，就因为没处理好陀螺仪的噪声，飞机悬停时一直在轻微抖动。后来加了个一阶低通滤波器，问题就解决了。

3.1 一阶低通滤波器的数学原理

先看连续域下的传递函数：

G(s) = 1 / (τs + 1)

其中 τ 是时间常数。对应的微分方程是：

τ · dy/dt + y = x

x 是输入，y 是输出。这个方程描述的就是一个惯性环节——输出不会突变，而是以指数形式逼近输入。

在嵌入式系统里，我们没法直接处理连续信号。得把它离散化。最常用的方法是后向差分法：

dy/dt ≈ (y[k] - y[k-1]) / T

代入微分方程，整理一下：

τ · (y[k] - y[k-1]) / T + y[k] = x[k]

y[k] = (T / (τ + T)) · x[k] + (τ / (τ + T)) · y[k-1]

令 α = T / (τ + T)，就得到了我们最熟悉的递推形式：

y[k] = α · x[k] + (1 - α) · y[k-1]

α 就是滤波系数，范围在 0 到 1 之间。α 越小，滤波效果越强，但响应也越慢。

3.2 截止频率与 α 的关系

截止频率 f_c 是滤波器增益下降到 -3dB 时的频率。对于一阶低通滤波器：

f_c = 1 / (2π · τ)

结合 α 的表达式，我们可以直接由截止频率算出 α：

α = 2π · T · f_c / (2π · T · f_c + 1)

反过来，已知 α 也能算出截止频率：

f_c = α / (2π · T · (1 - α))

这里有个坑，我踩过好几次。α 的取值和采样周期 T 是绑定的。同样的 α，采样率不同，实际截止频率完全不同。所以别光记 α 值，一定要结合你的采样周期来算。

采样周期 T	α 值	截止频率 f_c	适用场景
1 ms	0.1	约 17.7 Hz	电机电流环
1 ms	0.05	约 8.4 Hz	速度环
10 ms	0.1	约 1.77 Hz	位置环
10 ms	0.01	约 0.16 Hz	温度滤波

3.3 嵌入式实现：C 代码示例

实际写代码时，我习惯用定点数来算，避免浮点运算拖慢速度。尤其是在没有 FPU 的 MCU 上，浮点运算代价很高。

// 一阶低通滤波器结构体
typedef struct {
    float alpha;    // 滤波系数
    float y_prev;   // 上一次输出值
    uint8_t first;  // 首次运行标志
} lpf1_t;

// 初始化
void lpf1_init(lpf1_t *lpf, float alpha) {
    lpf->alpha = alpha;
    lpf->y_prev = 0.0f;
    lpf->first = 1;
}

// 滤波计算
float lpf1_process(lpf1_t *lpf, float x) {
    float y;
    if (lpf->first) {
        // 首次运行时，直接用输入值初始化
        y = x;
        lpf->first = 0;
    } else {
        y = lpf->alpha * x + (1.0f - lpf->alpha) * lpf->y_prev;
    }
    lpf->y_prev = y;
    return y;
}

如果 MCU 性能紧张，可以用移位运算代替浮点乘法。比如 α 取 1/16、1/32 这样的值：

// 定点数版本，alpha = 1/16
#define ALPHA_SHIFT 4  // 2^4 = 16

int16_t lpf1_fixed(int16_t x, int16_t *y_prev) {
    int16_t y;
    y = (x + ( (1 << ALPHA_SHIFT) - 1) * (*y_prev) ) >> ALPHA_SHIFT;
    *y_prev = y;
    return y;
}

嗯，这里要注意。定点数版本虽然快，但精度会损失。如果 α 不是 2 的负整数次幂，误差会累积。我一般只在电流环这种对延迟极度敏感的场景才用定点版本。

3.4 截止频率的选择策略

这是整个滤波器设计里最关键的一步。选高了，滤不掉噪声；选低了，信号延迟太大，系统可能不稳定。

我个人习惯按以下步骤来：

1. 先分析噪声频谱——用示波器或逻辑分析仪抓一段原始信号，看看噪声主要分布在哪个频段。
2. 确定有用信号的最高频率——比如速度环的带宽是 50 Hz，那有用信号基本都在 50 Hz 以下。
3. 在两者之间选一个折中点——通常取有用信号最高频率的 2~5 倍作为截止频率。

举个例子。我之前做四轴飞行器的姿态解算，陀螺仪的噪声主要集中在 30 Hz 以上，而姿态控制的带宽大约 10 Hz。我选了 20 Hz 的截止频率，效果不错。

不同控制环路的推荐截止频率范围：

控制环路	典型带宽	推荐截止频率	说明
电流环	1~5 kHz	500 Hz ~ 2 kHz	延迟敏感，滤波不宜过强
速度环	50~200 Hz	20~100 Hz	折中考虑噪声和响应
位置环	5~20 Hz	2~10 Hz	可以适当加强滤波
温度/压力	< 1 Hz	0.1~0.5 Hz	变化缓慢，滤波可以很深

3.5 一阶低通滤波器的知识体系

下面这张图把本章的核心逻辑串起来了。从连续域到离散域，从原理到实现，再到工程中的选择策略，你可以把它当作一个快速参考。

3.6 工程中的常见问题

最后聊几个我实际踩过的坑。

问题一：滤波器输出滞后导致系统振荡。

有一次我在调一个两轮平衡车，速度环加了 5 Hz 的滤波，结果车子一直前后晃动。后来发现是滤波器的相位延迟让速度反馈慢了半拍，控制器以为速度不够，继续加速，形成正反馈。解决办法是把截止频率提高到 15 Hz，同时适当降低控制器增益。

问题二：α 值在启动时导致输出跳变。

前面代码里我加了 first 标志位，就是为了解决这个问题。如果不做初始化，滤波器从 0 开始，输出会慢慢爬升，这段时间的控制量全是错的。

问题三：多个滤波器串联时的累积效应。

有些工程师喜欢在电流环、速度环、位置环各加一个滤波器。三个一阶滤波器串联，等效于一个三阶滤波器，相位延迟是单个的三倍。我建议尽量少用串联，如果必须用，每个的截止频率都要适当提高。