2. DH参数法：标准DH与改进DH参数定义、连杆坐标系建立规则

说到机器人运动学，DH参数法是个绕不开的话题。我刚开始接触那会儿，也被标准DH和改进DH搞得晕头转向。说白了，它们就是一套给机器人关节和连杆“贴标签”的规则。你想想看，一个六轴机器人，六个关节、六个连杆，怎么用数学描述它们之间的位置关系？DH参数法就是干这个的。

2.1 为什么需要DH参数？

在机器人里，每个关节都会动。如果直接写变换矩阵，每个关节的旋转轴方向、连杆长度都不一样，计算量会爆炸。DH参数法的核心思想是：用四个参数，就能唯一确定相邻两个关节坐标系之间的变换关系。

这四个参数分别是：

• 连杆长度 a_i-1：从 Z_i-1 轴到 Z_i 轴，沿 X_i-1 方向的距离。
• 连杆扭角 α_i-1：从 Z_i-1 轴到 Z_i 轴，绕 X_i-1 方向的转角。
• 关节距离 d_i：从 X_i-1 轴到 X_i 轴，沿 Z_i 方向的距离。
• 关节转角 θ_i：从 X_i-1 轴到 X_i 轴，绕 Z_i 方向的转角。

嗯，这里要注意：对于旋转关节，θ_i 是变量；对于移动关节，d_i 是变量。其他参数在机器人设计完成后就是固定的。

2.2 标准DH vs 改进DH：到底差在哪？

我在项目中遇到过不少工程师，把标准DH和改进DH混着用，结果算出来的末端位姿完全不对。其实它们的区别就两点：坐标系附着的位置不同，以及变换顺序不同。

先看个对比表格，一目了然：

对比项	标准DH (Standard DH)	改进DH (Modified DH)
坐标系附着	坐标系 {i} 固定在连杆 i 的末端（关节 i+1 处）	坐标系 {i} 固定在连杆 i 的起始端（关节 i 处）
变换顺序	绕 Xi-1 旋转 α → 沿 Xi-1 平移 a → 绕 Zi 旋转 θ → 沿 Zi 平移 d	绕 Zi-1 旋转 θ → 沿 Zi-1 平移 d → 绕 Xi 旋转 α → 沿 Xi 平移 a
参数下标	ai-1, αi-1, di, θi	ai-1, αi-1, di, θi（参数名相同，但物理含义略有差异）
常见教材	Craig 的《机器人学导论》	Siciliano 的《机器人学》

2.3 连杆坐标系建立规则（标准DH）

我个人习惯用标准DH，因为Craig那本书讲得特别清楚。建立坐标系时，遵循以下步骤：

1. 找Z轴：Z_i 轴沿关节 i+1 的轴线方向（注意是下一个关节）。
2. 找原点：原点 O_i 在 Z_i 轴与 Z_i-1 轴的公垂线交点处。
3. 找X轴：X_i 轴沿 Z_i-1 到 Z_i 的公垂线方向，指向 Z_i。
4. 找Y轴：Y_i 轴由右手定则确定，Y_i = Z_i × X_i。

举个例子，一个简单的两连杆机器人：

• 关节1是旋转关节，轴线竖直向上 → Z₀ 轴竖直。
• 关节2也是旋转关节，轴线水平 → Z₁ 轴水平。
• Z₀ 和 Z₁ 的公垂线就是连杆1的长度 → X₁ 轴沿连杆方向。

2.4 连杆坐标系建立规则（改进DH）

改进DH的规则稍微不同，坐标系 {i} 建在关节 i 上：

1. 找Z轴：Z_i 轴沿关节 i 的轴线方向。
2. 找原点：原点 O_i 在 Z_i 轴与 Z_i+1 轴的公垂线交点处。
3. 找X轴：X_i 轴沿 Z_i 到 Z_i+1 的公垂线方向。
4. 找Y轴：同样由右手定则确定。

你看，改进DH的X轴指向的是下一个Z轴，而标准DH的X轴指向的是当前Z轴。这个区别导致了变换矩阵的差异。

2.5 变换矩阵的推导

标准DH的相邻坐标系变换矩阵为：

T = Rotx(αi-1) · Transx(ai-1) · Rotz(θi) · Transz(di)

展开后得到：

| cosθi   -sinθi   0    ai-1 |
| sinθicosαi-1  cosθicosαi-1  -sinαi-1  -disinαi-1 |
| sinθisinαi-1  cosθisinαi-1   cosαi-1   dicosαi-1 |
| 0        0         0    1 |

改进DH的变换矩阵为：

T = Rotz(θi) · Transz(di) · Rotx(αi-1) · Transx(ai-1)

展开后：

| cosθi   -sinθicosαi-1   sinθisinαi-1   ai-1cosθi |
| sinθi    cosθicosαi-1  -cosθisinαi-1   ai-1sinθi |
| 0        sinαi-1          cosαi-1          di |
| 0        0         0    1 |

2.6 知识体系总览

下面这张图帮你理清DH参数法的整体脉络：

_x → Trans_x → Rot_z → Trans_z Rot_z → Trans_z → Rot_x → Trans_x a_i-1 (连杆长度) α_i-1 (连杆扭角) d_i (关节距离) a_i-1 (连杆长度) α_i-1 (连杆扭角) θ_i (关节转角) 旋转关节：θ_i 是变量；移动关节：d_i 是变量 其他参数在机器人设计完成后固定不变

2.7 实际项目中的选择建议

说了这么多，到底该用哪个？我的建议是：

• 如果你用的是UR、KUKA等工业机器人，它们的控制器内部通常用标准DH，你照着标准DH建模就行。
• 如果你在做移动机器人或协作机器人，改进DH更常见，因为坐标系建在关节起始端，便于添加工具坐标系。
• 如果你在写教材或，看你的参考文献用哪个，保持一致即可。

避坑指南：我曾经在一个项目里，团队一半人用标准DH，一半人用改进DH，结果联调时发现末端位姿差了180度。后来我们统一了约定，并且在每个变换矩阵前面加了一个注释块，写明当前用的是哪种DH。嗯，从那以后，再也没出过这种问题。

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