4、轨迹规划入门：关节空间与笛卡尔空间
轨迹规划，说白了就是告诉机器人「怎么动」。不是简单地从A点到B点，而是要考虑速度、加速度、甚至加加速度。我刚开始接触这个领域时，总觉得规划就是插值，后来踩了不少坑才明白——规划的质量直接决定了机器人是「丝滑」还是「抽搐」。
这一章，我们重点聊两种最常用的规划方式：关节空间轨迹规划和笛卡尔空间轨迹规划。前者控制每个关节的角度变化，后者控制末端执行器在三维空间中的位姿。
4.1 关节空间轨迹规划
关节空间规划，就是直接对每个关节的角度进行插值。你给机器人一个起始角度和目标角度，规划器算出一条平滑的曲线。它的好处是——不用考虑逆运动学，计算量小，实时性好。
我个人习惯把关节空间规划分成两类：梯形速度曲线和S形速度曲线。两者各有千秋，下面细说。
4.1.1 梯形速度曲线
梯形速度曲线，顾名思义，速度曲线像个梯形。分为三个阶段：匀加速、匀速、匀减速。实现简单，计算量极小，适合对平滑度要求不高的场景。
公式其实不复杂：
// 梯形速度曲线参数
q0 = 起始位置
q1 = 目标位置
v_max = 最大速度
a_max = 最大加速度
// 加速段时间
t_acc = v_max / a_max
// 加速段位移
q_acc = 0.5 * a_max * t_acc²
// 如果总位移不够加速到最大速度
if (q1 - q0 < 2 * q_acc) {
// 三角形速度曲线（没有匀速段）
t_acc = sqrt((q1 - q0) / a_max)
v_peak = a_max * t_acc
} else {
// 标准梯形
t_const = (q1 - q0 - 2 * q_acc) / v_max
}4.1.2 S形速度曲线
S形曲线比梯形曲线多了一个「加加速度」的概念。它把加速段又分成了三个阶段：加加速度增加、加加速度恒定、加加速度减小。说白了，就是让加速度也平滑变化。
你想想看，为什么需要S形曲线？因为梯形曲线的加速度突变会产生「急动度」（Jerk），也就是加加速度。急动度过大会激发机械结构的谐振频率，导致振动。
S形曲线有7个阶段：
| 阶段 | 描述 | 加速度变化 |
|---|---|---|
| 1 | 加加速度增加 | 加速度从0线性增加到a_max |
| 2 | 匀加速 | 加速度保持a_max |
| 3 | 加加速度减小 | 加速度从a_max线性减小到0 |
| 4 | 匀速 | 加速度为0 |
| 5 | 加加速度增加（减速） | 加速度从0线性减小到-a_max |
| 6 | 匀减速 | 加速度保持-a_max |
| 7 | 加加速度减小（减速） | 加速度从-a_max线性增加到0 |
// S形曲线核心参数
j_max = 最大加加速度
a_max = 最大加速度
v_max = 最大速度
// 加加速度变化时间
t_j = a_max / j_max
// 加速段时间
t_a = t_j + (v_max - a_max * t_j) / a_max
// 位置计算（以加速段为例）
if (t < t_j) {
// 加加速度增加段
q = q0 + (1/6) * j_max * t³
} else if (t < t_a - t_j) {
// 匀加速段
q = q0 + (1/6) * j_max * t_j³
+ 0.5 * a_max * (t - t_j)²
+ 0.5 * a_max * t_j * (t - t_j)
}4.2 笛卡尔空间轨迹规划
笛卡尔空间规划，是对机器人末端执行器的位姿进行规划。你关心的是「手」怎么走，而不是「关节」怎么转。这就涉及到逆运动学——把笛卡尔空间的位姿映射到关节空间。
嗯，这里要注意：笛卡尔空间规划的核心是插补。常见的插补方式有直线插补和圆弧插补。
4.2.1 直线插补
直线插补，就是让末端沿着直线运动。听起来简单，但实现起来有几个坑：
- 姿态插补：位置可以线性插值，但姿态（四元数或旋转矩阵）不能简单线性插值，需要用球面线性插值（SLERP）
- 速度规划：笛卡尔空间的速度规划同样可以用梯形或S形曲线，但要注意——关节空间的速度限制
- 奇异性：某些位姿下，逆运动学可能无解或产生关节速度突变
// 直线插补伪代码
function linearInterpolation(p0, p1, t):
// 位置线性插值
pos = p0.position + (p1.position - p0.position) * t
// 姿态SLERP插值
quat = slerp(p0.orientation, p1.orientation, t)
// 逆运动学求解
joint_angles = inverseKinematics(pos, quat)
return joint_angles4.2.2 圆弧插补
圆弧插补比直线插补复杂一些。你需要三个点来确定一个圆弧：起点、中间点、终点。或者用起点、终点和圆心。
实现步骤：
- 根据三点计算圆弧的圆心、半径、起始角和终止角
- 在圆弧上等距采样或等角度采样
- 对每个采样点进行逆运动学求解
- 在关节空间进行速度规划
我个人建议，圆弧插补时要注意弧长参数化。如果按角度均匀采样，靠近圆心一侧的线速度会变慢。应该按弧长均匀采样，保证末端线速度恒定。
4.3 两种规划方式的对比
| 对比项 | 关节空间规划 | 笛卡尔空间规划 |
|---|---|---|
| 末端路径 | 不可预测（可能走弧线） | 可控（直线/圆弧） |
| 计算量 | 小（无需逆解） | 大（每步需逆解） |
| 奇异性问题 | 较少 | 较多（需处理奇异位姿） |
| 适用场景 | 点到点运动、搬运 | 焊接、喷涂、切割 |
| 速度平滑性 | 容易实现 | 需额外处理 |
4.4 实际调参中的注意事项
说了这么多理论，最后聊点实际的。调参时，有几个参数特别关键：
- 最大速度：受限于电机额定转速和减速比。设得太高，电机可能丢步或过载
- 最大加速度：受限于电机扭矩和机械结构刚度。加速度太大，机器人会「点头」
- 加加速度（Jerk）：受限于机械谐振频率。Jerk太大，机器人会振动
我建议的调参顺序是：先调速度，再调加速度，最后调加加速度。每次只改一个参数，观察机器人运动是否平稳。如果出现振动，优先降低加加速度。