4. 占据栅格地图原理

栅格地图，说白了就是把环境切成一个个小方块，每个方块独立回答一个问题：「这里有障碍吗？」。我刚开始接触SLAM时，觉得这方法太朴素了——但后来才发现，正是这种「朴素」让它极其鲁棒。今天咱们就把它从数学到工程细节彻底聊透。

4.1 栅格地图的数学表示

我们把环境划分成均匀的网格，每个格子记作 mᵢ。整个地图就是一组随机变量：m = {m₁, m₂, …, mₙ}。每个 mᵢ 只有两种状态：占据（1）或空闲（0）。

你可能会问：为什么不直接用0和1？因为传感器有噪声，直接二值化太武断。所以我们用概率表示——p(mᵢ = 1) 表示格子被占的概率。我个人习惯用 对数概率（log-odds）来存，原因后面会讲。

4.2 贝叶斯更新公式

有了传感器新数据，怎么更新格子概率？贝叶斯公式就是我们的武器。对于单个栅格 mᵢ，给定观测 z₁ₜ 和位姿 x₁ₜ：

p(mᵢ | z₁ₜ, x₁ₜ) = 
    p(zₜ | mᵢ, z₁ₜ₋₁, x₁ₜ) · p(mᵢ | z₁ₜ₋₁, x₁ₜ₋₁) / p(zₜ | z₁ₜ₋₁, x₁ₜ)

看着复杂？实际用对数概率形式就清爽多了。定义 l(mᵢ) = log( p(mᵢ) / (1 - p(mᵢ)) )，更新公式变成：

lₜ(mᵢ) = lₜ₋₁(mᵢ) + lₒᵣₑᵥ(mᵢ) - l₀

其中 lₒᵣₑᵥ 是反演测量模型给出的对数概率，l₀ 是先验。说白了，就是加减法，没有乘除，数值稳定还快。我在项目里用这个公式跑了上千次，从未出现概率溢出。

4.3 反演测量模型

反演测量模型，听起来高大上，其实就是回答：「如果传感器读到这个值，格子应该更可能是占据还是空闲？」。以激光雷达为例，一束激光打到某个距离，那么：

• 击中点对应的格子 → 占据概率增加
• 激光路径上的格子（除击中点） → 空闲概率增加
• 未探测到的格子 → 保持原样

我见过不少新手直接把激光终点标记为占据，忽略了路径上的空闲信息。结果地图里全是「假墙」——明明激光穿过了空白区域，却什么都没学到。反演模型把这两部分都考虑进去，地图才干净。

4.4 地图分辨率与内存优化

分辨率直接决定地图精度。5cm 的格子比 10cm 的格子能表现更细的走廊边缘，但内存占用是平方倍增长。一张 100m×100m 的地图：

分辨率	栅格数量	内存（float32）	典型场景
20 cm	250,000	~1 MB	室外大场景
10 cm	1,000,000	~4 MB	室内仓库
5 cm	4,000,000	~16 MB	高精度建图
2 cm	25,000,000	~100 MB	精细重建

你想想看，如果每个格子用 float64 存概率，内存直接翻倍。我一般用 int8 存对数概率，范围 -127~127，精度完全够用。另外，ROS2 的 nav_msgs/msg/OccupancyGrid 默认就用 int8，-1 表示未知，0~100 表示空闲到占据。

我在一个园区项目里，地图 500m×400m，分辨率 10cm，按传统方式要 80MB。用了分块 + int8 后，实际常驻内存只有 12MB。嗯，优化空间永远比你想的大。