第三章 摩擦与重力补偿：让机器人学会“轻装上阵”

各位工程师朋友，大家好。今天我们来聊聊力矩控制里最让人头疼，但也最绕不开的两个家伙——摩擦和重力。

说实话，我刚入行那会儿，觉得力矩控制嘛，给个期望力矩，电机转就完了。结果第一次在真实机械臂上跑，那叫一个惨不忍睹。末端抖得像帕金森，静止时还往下坠。后来才明白，不搞定摩擦和重力补偿，你的力矩控制就是个“睁眼瞎”。

这一章，我们就来彻底扒一扒它们的底裤。

3.1 摩擦模型：那些“拧巴”的力

摩擦这东西，你想想看，它无处不在，但又很难精确描述。在机器人关节里，摩擦主要来自减速器、轴承和电机本身。我习惯把摩擦模型分成三类来理解。

3.1.1 库仑摩擦模型

这是最基础的模型。说白了，就是摩擦力的大小只和正压力有关，和速度无关。方向永远和运动方向相反。

数学表达式很简单：

τ_f = τ_c * sign(ω)

其中 τ_c 是库仑摩擦系数，ω 是关节角速度。

我在项目中遇到过一个问题：用这个模型做低速补偿时，效果很差。因为 sign 函数在零速附近会剧烈跳变，导致控制输出抖得厉害。嗯，这里要注意，库仑模型只适合做粗略估计。

3.1.2 粘滞摩擦模型

这个就好理解多了。它认为摩擦力与速度成正比，就像在蜂蜜里搅动一样。速度越快，阻力越大。

τ_f = B * ω

B 是粘滞摩擦系数。

实际中，我通常把库仑和粘滞模型合在一起用：

τ_f = τ_c * sign(ω) + B * ω

这个组合模型，在中等速度范围内表现还不错。但到了低速区，还是不够用。

3.1.3 Stribeck效应

为什么低速区会出问题？因为存在 Stribeck 效应。

简单说就是：从静止到开始运动的瞬间，摩擦力会先下降，然后再随速度上升。这个“先降后升”的曲线，就是 Stribeck 曲线。

完整的摩擦模型长这样：

τ_f = [τ_c + (τ_s - τ_c) * exp(-|ω/ω_s|^δ)] * sign(ω) + B * ω

其中 τ_s 是静摩擦力，ω_s 是 Stribeck 速度，δ 是经验系数（通常取 0.5~2）。

3.2 重力补偿：别让机器人“累趴下”

重力补偿，说白了就是让控制器知道：机器人现在是什么姿势，每个关节需要额外出多少力才能对抗重力。

我见过不少新手，直接给一个恒定力矩做重力补偿。结果机械臂水平伸出去时往下掉，举到头顶时又往上窜。这就是没做动态补偿。

3.2.1 离线补偿方法

离线补偿，就是事先算好重力矩，存成表格或多项式，运行时查表。

步骤很简单：

1. 建立机器人运动学模型，获取各连杆质心位置
2. 根据关节角度，计算重力矩 τ_g(q)
3. 将 τ_g(q) 存入查找表，或拟合成多项式

举个例子，对于一个二连杆机械臂，重力矩计算如下：

τ_g1 = (m1*lc1 + m2*l1) * g * cos(q1) + m2*lc2 * g * cos(q1+q2)
τ_g2 = m2*lc2 * g * cos(q1+q2)

离线补偿的优点是计算量小，实时性好。缺点嘛，一旦负载变了，或者质心参数不准，补偿就不准了。

3.2.2 在线补偿方法

在线补偿，就是实时辨识重力参数。常用的方法有：

• 递推最小二乘法（RLS）：在机器人运动过程中，不断更新质心位置和质量估计
• 自适应控制：将重力参数作为状态变量，用观测器实时估计

我曾在协作机器人项目里用过 RLS 做在线重力补偿。效果不错，但要注意激励问题——如果机器人长时间不动，参数估计会发散。

3.3 摩擦参数辨识实验设计

理论说完了，咱们来点实战的。怎么把摩擦参数辨识出来？

我推荐一个经典方法——恒速扫描法。

实验步骤

1. 让机器人关节以恒定速度运动，记录力矩和速度
2. 改变速度，重复步骤1，覆盖从低速到高速的整个范围
3. 对采集到的 (ω, τ) 数据，用最小二乘法拟合摩擦模型

数据采集时要注意：

• 每个速度点至少采集 5 秒以上的稳态数据
• 剔除加减速阶段的瞬态数据
• 正反方向都要采集，因为摩擦可能有方向不对称性

拟合示例

假设我们采集了以下数据：

速度 (rad/s)	正向力矩 (Nm)	反向力矩 (Nm)
0.01	1.52	-1.48
0.05	1.38	-1.35
0.10	1.45	-1.42
0.50	1.85	-1.82
1.00	2.30	-2.28

用 Python 做拟合的代码片段：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

def stribeck_model(w, tau_c, tau_s, ws, B):
    return tau_c + (tau_s - tau_c) * np.exp(-np.abs(w/ws)**0.5) + B * np.abs(w)

# 正向数据
w = np.array([0.01, 0.05, 0.10, 0.50, 1.00])
tau = np.array([1.52, 1.38, 1.45, 1.85, 2.30])

popt, _ = curve_fit(stribeck_model, w, tau, p0=[1.0, 1.5, 0.05, 0.5])
print(f"tau_c={popt[0]:.3f}, tau_s={popt[1]:.3f}, ws={popt[2]:.3f}, B={popt[3]:.3f}")

3.4 知识体系总览

为了让大家更直观地理解本章的知识结构，我画了一张图：

这张图把本章的核心内容串起来了。左边是摩擦补偿的三个模型，右边是重力补偿的两种方法，底部是实验设计。你想想看，实际调试时，就是从左到右、从上到下走一遍流程。

好了，这一章的内容就到这里。摩擦和重力补偿是力矩控制的“基本功”，看似简单，但想做好真不容易。我当年也是踩了不少坑才摸出门道。希望各位在实际项目中，能把这些方法用起来，少走弯路。

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