2. 寿险精算基础

寿险定价、准备金评估与死亡风险分层的共同语言，是一套以概率论为基础的符号体系。理解这套体系的关键，不是死记公式，而是弄清每个符号背后描述的“随机事件”与“时间维度”。本节从生存函数出发，逐步引入死亡力、概率分布与期望寿命，并说明它们在生存模型中的衔接关系。

一、核心原理：从剩余寿命到生存函数

寿险精算的起点是一个随机变量——新生儿的未来生存时间，记作 T₀；对 x 岁的人，其剩余寿命记作 Tₓ。所有核心函数都围绕 Tₓ 的分布展开。

• 生存函数 S(x)：表示个体活到 x 岁的概率，即 S(x) = P(T₀ > x)。它是单调递减函数，S(0)=1，随年龄增大趋近于 0。
• 剩余寿命生存函数 Sₓ(t)：x 岁的人再存活 t 年的概率，Sₓ(t) = S(x+t)/S(x)，这是条件概率的直接体现。
• 死亡概率 qₓ：x 岁的人在一年内死亡的概率，qₓ = 1 - Sₓ(1)；对应 pₓ = Sₓ(1) 为一年内存活概率。
• 死亡力 μ(x)：瞬时死亡强度，μ(x) = -S'(x)/S(x)，也称风险率或危险率。它刻画“活到此刻的瞬间死亡倾向”，是生存模型中最具解释力的参数。

二、方法流程：从死亡力到概率分布的推导链

实际建模时，通常先设定死亡力的函数形式（如 Gompertz、Makeham 或分段常数），再推导出生存函数与各类概率。标准流程如下：

1. 确定死亡力形式 μ(x)，例如 Gompertz 假设 μ(x) = B·cˣ。
2. 积分得到累积危险 H(x) = ∫₀ˣ μ(u)du。
3. 求生存函数 S(x) = exp(-H(x))。
4. 由 S(x) 导出 qₓ、pₓ 及 t 年生存概率 ₜpₓ。
5. 计算期望寿命 eₓ 与保险现值，进入定价与准备金环节。

下面用一段伪代码展示分段常数死亡力下的生存概率计算逻辑，便于理解参数如何进入模型：

# 分段常数死亡力：区间 [x, x+1) 内 μ = mu_x
def survival_prob(x, t, mu_table):
    prob = 1.0
    for age in range(x, x + int(t)):
        prob *= exp(-mu_table[age])   # 每整年存活概率
    frac = t - int(t)
    prob *= exp(-mu_table[x + int(t)] * frac)  # 不足一年部分
    return prob

# 例：mu_table[40]=0.002, mu_table[41]=0.0023
# survival_prob(40, 1.5, mu_table) ≈ exp(-0.002)*exp(-0.00115)

三、概率分布与期望寿命

剩余寿命 Tₓ 是连续随机变量，其密度函数为 fₓ(t) = Sₓ(t)·μ(x+t)，即“活到 t 且在此刻死亡”的联合强度。由此可定义期望寿命：

• 完全期望寿命 e̊ₓ：E[Tₓ] = ∫₀^∞ Sₓ(t)dt，即生存曲线下面积。
• 整值期望寿命 eₓ：取整后的期望生存整年数，常用于寿险表格。
• 中位剩余寿命：满足 Sₓ(t)=0.5 的 t，对高龄人群更具参考意义。

下表汇总本节核心符号及其含义，建议作为后续章节的速查清单：

四、案例与误区复盘

案例：某产品需对 40 岁男性定价，假设死亡力服从 Gompertz 分布 μ(x)=0.0005·1.1ˣ。计算 40 岁到 41 岁的死亡概率：先求 H(41)-H(40)=∫₄₀⁴¹ μ(u)du，再得 q₄₀ = 1 - exp(-ΔH)。若忽略死亡力随年龄指数增长，直接用常数死亡力，会低估高龄段风险，导致准备金不足。