2. 波动率基础回顾

在进入 Local Vol 与 Dupire 方程之前，必须先把“波动率”这个看似熟悉的概念拆开。很多实战误区的根源，不是公式不会推，而是把不同口径的波动率混为一谈：用历史波动率去定价期权，用隐含波动率去预测未来，或者看到微笑曲线就以为市场“错了”。本节把四个基础对象——历史波动率、隐含波动率、波动率微笑与偏斜、期限结构——放在同一张地图上，建立后续局部波动率建模的参照系。

一、核心原理：两种波动率，两种世界观

历史波动率（Historical Volatility, HV）是对已实现价格变动的统计度量，回答“过去有多颠簸”。它由收益率序列计算，常见口径包括 close-to-close、Parkinson、Garman-Klass、Yang-Zhang 等。HV 是回望的、可观测的、唯一的（给定窗口与频率）。

隐含波动率（Implied Volatility, IV）是把市场价格代入 Black-Scholes 公式反解出来的波动率参数，回答“市场当前为未来定价了多少波动”。IV 是前瞻的、不可直接观测的、且依赖模型假设。同一到期日、不同行权价的 IV 连成一条曲线，就是波动率微笑/偏斜；不同到期日的 IV 连成一条曲线，就是期限结构。

核心区别：HV 是“已发生的事实”，IV 是“市场共识的价格”。Local Vol 要做的，正是把整张 IV 曲面（微笑+期限结构）反推成一个与行权价、到期日都相关的瞬时波动率函数 σ(S,t)。

二、波动率微笑与偏斜：市场为什么不再相信常数波动率

Black-Scholes 假设波动率为常数，但真实市场中，平值期权 IV 最低、虚值看跌与虚值看涨 IV 抬升，形成“微笑”；在股指等市场，低行权价（虚值看跌）IV 显著高于高行权价，曲线向左上方倾斜，称为“偏斜（Skew）”。偏斜反映了市场对下行风险的定价：暴跌概率被系统性高估，或说尾部风险被定价进去。

常见观察维度：

  • 水平（Level）：平值 IV 的高低，反映整体波动预期。
  • 偏斜（Skew）：25Δ Put IV 减 25Δ Call IV，衡量左右不对称。
  • 曲率（Curvature / Butterfly）：两翼相对平值的抬升幅度，反映尾部厚度。
  • 期限结构（Term Structure）：近月 IV 与远月 IV 的差，反映事件与均值回复。

下面这张图把同一标的、同一到期日的 IV 曲线与 HV 水平放在一起，直观展示“微笑+偏斜”以及 IV 相对 HV 的溢价：

波动率微笑与偏斜：同一到期日 IV 曲线 vs 历史波动率 行权价 K（低 → 高） 隐含波动率 IV HV（已实现） 虚值Put IV高 平值 IV 最低 虚值Call IV 偏斜 Skew 期限结构（ATM IV） 近月高 远月低

三、期限结构：波动率的时间维度

把不同到期日的平值 IV 连起来，就得到期限结构。常见形态有三类：

  1. 向上倾斜：远月 IV 高于近月，通常出现在市场平静、预期未来不确定性上升时。
  2. 向下倾斜（倒挂）：近月 IV 高于远月，常见于重大事件（财报、议息、公投）临近，事件过后 IV 回落。
  3. 驼峰/波动：中间某到期日因特定事件被抬高，形成局部峰值。

期限结构对 Local Vol 至关重要：Dupire 方程要求输入的是整张 IV 曲面，而期限结构决定了 σ(S,t) 在时间方向上的变化。如果只取单一到期日建模，得到的局部波动率在时间维度上是失真的。

四、方法流程：从市场数据到波动率曲面

实战中构建 IV 曲面的典型流程如下：

  1. 采集同一标的、多个到期日、多个行权价的期权报价（买价/卖价/中间价）。
  2. 剔除流动性差、价差过宽、明显套利的报价。
  3. 用 Black-Scholes 或更合适的模型反解每个报价的 IV。
  4. 对每个到期日做行权价方向的平滑插值，得到微笑/偏斜曲线。
  5. 在到期日方向做时间插值（注意方差插值优于 IV 线性插值）。
  6. 检查无套利约束：蝶式价差非负、日历价差非负、总方差单调不减。
时间方向插值建议对总方差 σ²T 做线性或单调插值，而不是直接对 IV 线性插值。直接插 IV 容易破坏日历套利约束，这是构建 Local Vol 曲面时最常见的坑之一。

五、案例与场景：一次典型的 IV 曲面观察

假设某股指当前点位 3000，近月平值 IV 为 18%，远月为 20%，25Δ Put IV 比 25Δ Call IV 高 6 个波动率点。可以读出：

  • 整体波动预期温和，远月略高于近月，期限结构向上倾斜。
  • 偏斜明显，市场对下行保护需求强，虚值看跌被买贵。
  • 若此时 HV 只有 12%，说明 IV 相对 HV 有约 6 个点的溢价，市场在为潜在风险付费。

用 Python 快速计算 HV 与简单 IV 对比的示意代码：

import numpy as np

# 历史波动率：close-to-close，年化
def hist_vol(prices, window=20, ann=252):
    ret = np.diff(np.log(prices))
    return np.std(ret[-window:], ddof=1) * np.sqrt(ann)

# 示例：近 20 日收盘价
prices = np.array([3000, 3012, 2995, 2980, 3005, 3020,
                   3010, 2998, 2975, 2960, 2985, 3000,
                   3015, 3030, 3022, 3008, 2990, 2978,
                   2995, 3010, 3025])
hv = hist_vol(prices)
print(f"20日历史波动率 = {hv:.2%}")
# 输出示例：20日历史波动率 = 14.87%

六、误区与复盘

误区表现正确做法
用 HV 直接定价期权忽略风险溢价与微笑定价用 IV 曲面，HV 仅作参照
把 IV 当作未来已实现波动预测IV 含风险溢价与供需区分风险中性测度与现实测度
忽略偏斜只取平值 IV虚值期权定价严重偏差建模整条微笑曲线
时间方向直接插 IV破坏日历套利对总方差 σ²T 插值
用单一到期日推 Local Vol时间维度失真使用完整 IV 曲面
复盘要点：HV、IV、微笑、期限结构不是四个孤立概念，而是同一波动率曲面的四个切面。Local Vol 与 Dupire 方程的输入，正是这张曲面的全部信息。若曲面本身存在套利或插值失真，后续局部波动率再精确也失去意义。

掌握这四个基础对象后，下一步才能理解 Dupire 方程如何把整张 IV 曲面“翻译”成瞬时局部波动率 σ(S,t)，以及为什么局部波动率能同时拟合所有行权价与到期日。在此之前，请确保你能独立画出并解释一张真实的 IV 曲面。

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