📚 课程目录第4章传统波动率模型回顾

4. 传统波动率模型回顾

在进入深度学习波动率预测之前，必须先理解传统波动率模型这一“基准线”。它们不仅是金融计量经济学的经典成果，也是深度学习模型最直接的对照对象与特征来源。本节将系统回顾五类模型：ARCH、GARCH、EGARCH、GJR-GARCH 与 HAR，重点讲清它们的核心原理、参数含义、适用场景与局限。

金融收益率序列普遍存在三个典型事实：波动聚集（大波动跟着大波动）、尖峰厚尾、以及杠杆效应（负收益对波动的冲击通常大于正收益）。ARCH 类模型的核心思想是：波动率不是常数，而是随时间变化的条件方差，且可以被历史信息预测。

设收益率 \( r_t = \mu + \varepsilon_t \)，其中 \( \varepsilon_t = \sigma_t z_t \)，\( z_t \sim N(0,1) \)。不同模型的关键差异，就在于如何刻画 \( \sigma_t^2 \) 的演化方程。

一句话理解：ARCH 用过去的“冲击平方”解释今天的波动；GARCH 在此基础上加入“过去的波动”自身；EGARCH 与 GJR-GARCH 进一步引入“方向不对称”；HAR 则用不同时间尺度的已实现波动率做线性回归。

ARCH 模型由 Engle 于 1982 年提出，条件方差为：

σ_t² = ω + α₁ε_{t-1}² + α₂ε_{t-2}² + ... + α_qε_{t-q}²

优点是形式简单、可解释性强；缺点是滞后阶数 q 往往很大，参数多、易过拟合，且无法解释波动率的长期持续性。

Bollerslev 在 ARCH 基础上加入条件方差自身的滞后项：

σ_t² = ω + Σ α_i ε_{t-i}² + Σ β_j σ_{t-j}²

GARCH(1,1) 在实践中最为常用。其优点是参数少、能刻画波动聚集与均值回复；缺点是仍假设正负冲击对称，无法捕捉杠杆效应，且对极端事件反应偏慢。

Nelson 提出的 EGARCH 对条件方差取对数，并引入符号项：

ln(σ_t²) = ω + β ln(σ_{t-1}²) + γ z_{t-1} + α(|z_{t-1}| - E|z_{t-1}|)

当 γ < 0 时，负冲击会带来更大的波动上升，从而刻画杠杆效应。对数形式还自动保证方差为正。缺点是参数估计更复杂，对模型设定敏感。

Glosten、Jagannathan 与 Runkle 提出用指示函数区分正负冲击：

σ_t² = ω + α ε_{t-1}² + γ ε_{t-1}² I(ε_{t-1}<0) + β σ_{t-1}²

当 ε_{t-1} < 0 时，额外增加 γ 项。它比 EGARCH 更直观、更易估计，是实证研究中最常用的非对称 GARCH 变体之一。

Corsi 提出的 HAR 模型直接对已实现波动率 RV 建模，用日、周、月三个尺度做线性回归：

RV_t = c + β_d RV_{t-1} + β_w RV_{t-5:t-1} + β_m RV_{t-22:t-1} + ε_t

HAR 的优点是结构简单、参数少、可扩展性强（HAR-RV、HAR-J、HARQ 等），且能直接利用高频数据；缺点是本质仍是线性模型，对非线性与结构突变刻画有限。

实操建议：在 Python 中可用 arch 包快速估计 GARCH 族模型；HAR 可直接用 statsmodels 做 OLS。建议先跑通 GARCH(1,1) 作为基准，再逐步加入非对称项与多尺度项。

模型	核心信息集	是否非对称	典型场景	主要缺点
ARCH(q)	过去冲击平方	否	教学、短记忆波动	阶数高、参数多
GARCH(1,1)	冲击² + 方差	否	股票、汇率日频基准	对称、极端反应慢
EGARCH	对数方差 + 符号	是	杠杆效应明显的市场	估计复杂、解释难
GJR-GARCH	门限冲击² + 方差	是	股指、个股波动建模	门限设定需检验
HAR	日/周/月 RV	可扩展	高频 RV 预测、HAR-J	线性、依赖 RV 质量

误区一：把 GARCH 当成万能模型。GARCH 对结构突变、政策冲击、极端行情的反应存在滞后，不能替代事件驱动分析。