📚 课程目录第2章车辆运动学与动力学建模基础

2. 车辆运动学与动力学建模基础

横纵垂一体化控制的核心难点，在于纵向、横向、横摆与垂向四个方向的运动并非彼此独立：驱动/制动改变纵向力，会通过轮胎附着影响横向可用力；转向产生横摆力矩，同时改变侧倾与垂向载荷转移；悬架垂向运动又反过来改变轮胎法向力，进而改变纵横向力的上限。因此，一体化控制器的设计必须建立在一套坐标定义一致、接口清晰的车辆模型之上。本节先统一坐标系，再推导耦合动力学方程，最后明确模型对外提供的接口。

一、三套坐标系的定义与正方向约定

工程上最容易出错的地方不是方程本身，而是符号约定。本节统一采用如下定义，全文与图示保持一致。

地面坐标系 O-XYZ：固定于地面，X 轴指向车辆初始前进方向，Y 轴指向左侧，Z 轴竖直向上，符合右手定则。用于描述车辆绝对位置、航向角与轨迹。
车身坐标系 o-xyz：原点位于车辆质心，x 轴沿车身纵轴指向前方，y 轴指向车身左侧，z 轴竖直向上。用于描述车辆自身的纵向速度 vx、侧向速度 vy、横摆角速度 r、侧倾角速度 p、俯仰角速度 q 以及垂向速度 vz。
轮胎坐标系 o_t-x_ty_tz_t：原点位于轮胎接地印迹中心，x_t 轴为车轮平面与地面的交线指向前方，y_t 轴在接地平面内指向侧向，z_t 轴沿地面法向向上。轮胎力 Fx、Fy 与回正力矩 Mz 均在此坐标系内定义。

三套坐标系之间的转换关系是模型接口的基础：地面到车身通过航向角 ψ、俯仰角 θ、侧倾角 φ 构成的旋转矩阵 R 实现；车身到轮胎通过车轮转角 δ 与前轮转向几何实现。轮胎坐标系中的力经 δ 旋转后投影到车身坐标系，再经 R 转换到地面坐标系，才能用于轨迹与姿态的积分。

二、纵向、横向与横摆耦合动力学方程

在车身坐标系下，忽略路面坡度与空气升力的一阶影响，车辆平面运动的三自由度方程可写为：

m(v̇x − vy·r) = Fx_fl·cosδ − Fy_fl·sinδ + Fx_fr·cosδ − Fy_fr·sinδ + Fx_rl + Fx_rr
m(v̇y + vx·r) = Fx_fl·sinδ + Fy_fl·cosδ + Fx_fr·sinδ + Fy_fr·cosδ + Fy_rl + Fy_rr
Iz·ṙ = a·(Fx_fl·sinδ + Fy_fl·cosδ + Fx_fr·sinδ + Fy_fr·cosδ) − b·(Fy_rl + Fy_rr) + ΔMz

其中 m 为整车质量，Iz 为绕 z 轴转动惯量，a、b 分别为质心到前轴和后轴的距离，δ 为前轮转角，下标 fl、fr、rl、rr 分别表示左前、右前、左后、右后车轮。ΔMz 为左右轮纵向力差产生的附加横摆力矩，是横纵一体化控制最直接的执行接口。

注意第一式中 −vy·r 与第二式中 +vx·r 是科氏加速度项，它们体现了纵向与横向运动的耦合：当车辆以较高速度横摆时，纵向加速度与侧向加速度会相互影响。若忽略这两项，在低速时误差尚可接受，但在高速大转角工况下会导致明显的模型失配。

三、垂向与侧倾、俯仰的耦合

垂向运动通过悬架与轮胎刚度进入模型。以四分之一车模型为基础，车身垂向、侧倾、俯仰三自由度方程为：

ms·v̇z = Σ Fsi        (i = fl, fr, rl, rr)
Ix·ṗ = (Fs_fl − Fs_fr)·tf/2 + (Fs_rl − Fs_rr)·tr/2 + ms·g·h·sinφ
Iy·q̇ = −(Fs_fl + Fs_fr)·a + (Fs_rl + Fs_rr)·b

其中 Fsi 为各悬架力，tf、tr 为前后轮距，h 为质心高度，Ix、Iy 为侧倾与俯仰转动惯量。悬架力由弹簧刚度 ks、阻尼 cs 及车身与车轮的相对位移、相对速度决定。轮胎法向力 Fz 则由轮胎刚度 kt 与轮胎垂向变形决定，并直接约束轮胎纵横向力的上限：

√(Fx² + Fy²) ≤ μ·Fz

这就是纵、横、垂耦合的物理根源：垂向载荷转移改变 Fz，进而改变可用纵横向力，最终影响横摆响应。一体化控制器若只考虑平面三自由度，就无法在极限工况下正确分配四轮力。

四、一体化控制所需的模型接口

模型对外应提供三类接口，便于上层控制器调用：

接口类型	输入	输出	用途
状态接口	—	vx, vy, r, p, q, vz, φ, θ, ψ	状态反馈与观测器设计
执行接口	δ, 四轮驱动/制动力矩, 悬架主动力	—	控制量下发
力接口	各轮 Fz	Fx, Fy, Mz	轮胎力分配与约束校验

实际实现时，建议将模型封装为如下形式的函数，输入为状态向量与执行量，输出为状态导数与各轮力：

function [dxdt, tireForce] = vehicle_model(x, u, param)
% x = [vx; vy; r; p; q; vz; phi; theta; psi]
% u = [delta; T_fl; T_fr; T_rl; T_rr; Fs_fl; Fs_fr; Fs_rl; Fs_rr]
% param 包含 m, Iz, Ix, Iy, a, b, tf, tr, h, ks, cs, kt, mu
% 输出 dxdt 为状态导数，tireForce 为各轮 Fx, Fy, Fz, Mz
end

建立模型时，先确认坐标系与正方向约定，再逐项核对方程中的符号。建议用一组已知的稳态圆周工况做校验：给定固定 δ 与纵向速度，若模型输出的 r 与理论值 vx·δ/(a+b) 偏差超过 10%，应优先检查轮胎侧偏刚度与坐标转换矩阵。

垂向与平面运动的耦合在普通工况下较弱，但在紧急避障、对开路面制动等场景中会成为主导因素。若一体化控制器忽略 Fz 变化对 μ·Fz 约束的影响，可能出现目标横摆力矩无法实现、车辆失稳的情况。

综上，本节建立的坐标系与耦合方程，为后续纵横向协同控制、垂向载荷分配以及模型预测控制提供了统一的数学基础。模型接口的规范化，是保证一体化控制器可复用、可验证的前提。