2. FMCW雷达信号处理数学基础
调频连续波（FMCW）雷达的核心思想，是把“距离”这一空间量编码成“频率”这一可被FFT直接测量的量。理解这条编码链路，是后续在S32R上做定点优化、窗函数选择、耦合补偿的前提。本节从发射信号出发，逐步推导中频信号模型，再讨论距离-多普勒耦合、FFT与窗函数的作用，最后落到S32R定点与浮点的取舍。
一、发射信号与中频信号的产生
设单个chirp的发射信号为线性调频：
s_tx(t) = A·cos(2π(f_c·t + (B/(2T_c))·t²))，0 ≤ t ≤ T_c其中 f_c 为载频，B 为扫频带宽，T_c 为chirp有效时长，斜率 S = B/T_c。目标距离 R 处回波延迟 τ = 2R/c，接收信号是发射信号的时延副本。将收发信号混频并低通滤波后，得到中频（IF）信号：
s_if(t) ≈ A_if·cos(2π(S·τ)·t + 2π·f_c·τ - π·S·τ²)关键结论是：中频频率 f_if = S·τ = 2SR/c，与距离成正比；而相位项 2πf_c·τ 携带了目标微小位移信息，这正是多普勒的来源。因此一个chirp内的FFT给出距离，跨chirp的相位变化给出速度。
举例：B = 1 GHz，T_c = 64 μs，则 S = 15.625 MHz/μs。若目标在 R = 30 m，τ = 0.2 μs，f_if = 3.125 MHz。若采样率 f_s = 10 MHz，则距离FFT的峰值落在第 3.125M/10M × N 个bin上（N为每chirp采样点数）。
二、距离-多普勒耦合
上面的推导假设目标静止。当目标以径向速度 v 运动时，回波在chirp内也发生频率偏移，中频频率变为：
f_if = 2SR/c + 2v·f_c/c第二项就是多普勒频率 f_d = 2v/λ。问题在于：单个chirp内，我们无法区分这个偏移是来自距离还是来自速度，这就是距离-多普勒耦合。耦合带来的距离误差为 ΔR = c·f_d/(2S)。以 S = 15.625 MHz/μs、v = 30 m/s 为例，f_d ≈ 15.4 kHz，ΔR ≈ 0.148 m，已经接近一个距离分辨率单元，不可忽略。
工程上有三条常用路径：一是用上下扫频（up-down chirp）配对，两个方程解出 R 和 v；二是先做多普勒FFT估计速度，再对距离维做补偿；三是在波形设计上增大 T_c 或采用多chirp联合处理，让耦合项在后续处理中被显式建模。S32R 的 BBE32 与 SPU 适合把补偿放在多普勒FFT之后、CFAR之前完成。
三、FFT与窗函数
距离维FFT把 N 点中频采样变换到 N 个距离bin，bin间隔对应 ΔR = c·f_s/(2S·N)。但矩形窗的旁瓣仅 -13 dB，强目标旁瓣会淹没邻近弱目标。加窗（如 Hann、Hamming、Blackman）可把旁瓣压到 -30 dB 以下，代价是主瓣展宽、分辨率略降。
选择窗函数时看三个量：峰值旁瓣电平（PSLR）、主瓣宽度（约 3 dB 宽度）、以及 SNR 损失。Hann 窗 PSLR ≈ -31 dB，主瓣展宽约 1.5 倍；Blackman 窗 PSLR ≈ -58 dB，但主瓣展宽约 1.7 倍。若场景中强弱目标共存且距离接近，优先选低旁瓣窗；若追求分辨率且目标强度相近，可用 Hamming 折中。
加窗在实现上就是逐点乘系数，可在S32R上用查表或分段线性近似完成。注意窗系数应在定点域预先量化，避免每次运算重复转换。
四、S32R上定点与浮点的取舍
S32R 系列包含 BBE32、SPU 等专用信号处理单元，定点吞吐远高于通用浮点。典型做法是：前端FFT与加窗用定点，后端检测与角度估计可保留浮点。定点化的关键是动态范围管理。
以16位定点为例，中频采样先做块浮点（block floating point）归一化，把最大值对齐到 Q15 的 0.99 附近，再进入FFT。FFT每级蝶形会带来约 1 bit 的增长，256点FFT需预留 8 bit 余量，因此中间结果常用 Q15 输入、Q31 累加、输出再右移饱和。若不做缩放，溢出会直接产生错误峰值。
浮点与定点的误差对比可用一个简单判据：定点FFT的量化噪声底约比浮点高 20~30 dB，若系统要求检测 -100 dBm 级弱目标，需在FFT前做增益校准，或在CFAR门限上补偿噪声抬升。实际工程中，建议先用浮点模型跑通算法，再逐级替换为定点，每替换一级就对比距离谱峰值位置与幅度，偏差超过 0.5 个bin或 1 dB 就要回退检查缩放策略。
把以上四块串起来：chirp斜率把距离变成中频频率，混频与低通得到IF信号，距离FFT给出距离bin，多普勒FFT给出速度bin，窗函数控制旁瓣，定点/浮点决定精度与吞吐的平衡。S32R的工程实现，本质上就是在这条链路上逐级分配位宽、缩放与补偿策略。