4. 非线性模型预测控制
车辆动力学在高速、低附着或大转向工况下会表现出明显的非线性：轮胎侧偏力饱和、纵横向耦合、载荷转移以及执行器约束，都使线性MPC的预测模型难以覆盖全工况。非线性模型预测控制（NMPC）把预测模型直接写成非线性状态方程，在滚动时域内求解带约束的非线性优化问题，从而在更宽的工作区间内保持控制精度与约束满足能力。
一、非线性系统描述
NMPC的起点是连续时间非线性状态空间模型：
ẋ(t) = f(x(t), u(t), p)
y(t) = h(x(t), u(t))
x ∈ R^n：状态量，如 vx、vy、r、β、e_y、e_ψ
u ∈ R^m：控制量，如 δf、驱动/制动扭矩、各轮滑移率
p ：时变参数，如 μ、坡度、载荷、轮胎刚度以车辆横向动力学为例，常用三自由度单轨模型描述：状态取纵向速度、侧向速度与横摆角速度，控制取前轮转角。轮胎侧偏力采用Pacejka或简化魔术公式，侧偏角与侧偏力之间呈饱和非线性；当侧偏角超过峰值点后，侧偏力反而下降，这正是线性模型无法表达的失稳机理。NMPC的价值在于：它可以在预测时域内“看到”轮胎进入非线性区后的力衰减，从而提前收油或减小转向，而不是等到车辆已经失稳再补救。
二、NMPC数学形式
NMPC在每个采样时刻求解如下有限时域最优控制问题：
min J = Σ_{k=0}^{N-1} [ (x_k - x_ref)^T Q (x_k - x_ref)
+ u_k^T R u_k + Δu_k^T S Δu_k ]
+ (x_N - x_ref)^T P (x_N - x_ref)
s.t. x_{k+1} = f_d(x_k, u_k) // 离散非线性动力学
x_0 = x(t) // 当前实测状态
g(x_k, u_k) ≤ 0 // 状态/控制约束
u_min ≤ u_k ≤ u_max // 执行器幅值约束
Δu_min ≤ Δu_k ≤ Δu_max // 执行器速率约束
x ∈ X_safe // 稳定性/安全包络与线性MPC的关键差别在于：等式约束 x_{k+1}=f_d(x_k,u_k) 是非线性的，因此优化问题不再是一个二次规划（QP），而是一个非线性规划（NLP）。目标函数仍可保持二次型，但可行域由非线性等式与不等式共同定义，可能出现非凸、多局部极小值的情况。求解器通常采用序列二次规划（SQP）或内点法（IPM），在每次迭代中对非线性动力学线性化，构造并求解一个QP子问题。
三、离散化方法
数字控制器只能处理离散模型，因此必须把连续方程 ẋ=f(x,u) 离散为 x_{k+1}=f_d(x_k,u_k)。常用方法对比如下：
| 方法 | 公式要点 | 精度 | 计算代价 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 前向欧拉 | x_{k+1}=x_k+T_s·f(x_k,u_k) | 一阶 | 极低 | 步长小、快速原型 |
| 后向欧拉 | 需隐式求解 x_{k+1} | 一阶 | 中 | 刚性系统、稳定性优先 |
| 四阶龙格库塔 | 四次斜率加权 | 四阶 | 高 | 高精度仿真验证 |
| 多步/配点法 | 在时域内配置节点 | 高阶 | 很高 | 离线轨迹优化 |
车辆控制中，采样周期通常为10～50 ms。若用前向欧拉，步长过大时会出现数值不稳定，例如横摆动力学在低附着下时间常数很小，T_s=20 ms可能已接近稳定边界。工程折中是：用RK4做模型验证，用欧拉或半隐式欧拉做实时NMPC的离散化，并通过缩短预测步长或增加步数来补偿精度。
四、实时性挑战与工程对策
NMPC最大的工程障碍是计算时间必须小于采样周期。一个预测时域N=20、控制步长T_s=20 ms的问题，若状态维数6、控制维数2，则决策变量约40个，加上非线性等式约束，SQP每次迭代都要构造并求解QP，单次求解常在几十毫秒到数百毫秒量级，远超20 ms的实时预算。常见对策包括：
- 缩短预测时域：N取10～15，配合终端惩罚P近似无穷时域，牺牲部分前瞻性换取实时性。
- 热启动：用上一时刻的解作为当前初值，可显著减少SQP迭代次数。
- 实时迭代（RTI）：每个采样周期只做一次SQP迭代，把“精确求解”降级为“持续改进”，在快速系统中非常有效。
- 显式NMPC：离线计算近似控制律，在线只做查表与插值，但维数灾难限制其在高维车辆模型中的应用。
- 模型降阶：把轮胎非线性用分段线性或查表近似，把连续时间模型用固定步长欧拉离散，降低每次迭代的计算量。
五、案例：低附着双移线中的NMPC表现
设路面附着系数μ=0.35，车辆以80 km/h执行双移线。线性MPC在轮胎侧偏角接近饱和时仍按线性增益分配前轮转角，导致后轴侧滑、横摆角速度超调；NMPC在预测模型中包含侧偏力饱和段，优化器在进入非线性区前就减小前轮转角增量，并利用纵向减速辅助转向。仿真中，NMPC的横向跟踪误差峰值比LMPC降低约35%，且横摆角速度始终未超过稳定边界。代价是单次求解时间从LMPC的3 ms上升到18 ms，需将采样周期从20 ms放宽到40 ms，或采用RTI策略压缩到15 ms以内。
复盘要点：NMPC的收益来自“预测模型更真实”，而不是“优化算法更高级”。如果轮胎模型、载荷转移或执行器延迟建模不准，NMPC同样会失效；如果实时性不达标，再精确的模型也无法上车。因此工程落地顺序应是：先确认非线性建模的必要性，再选择离散化与求解策略，最后用WCET和实车标定闭环验证。