3. 运动学基础
轨迹规划的本质，是在时间轴上为机械系统的运动状态安排一条可行且平滑的曲线。要理解这条曲线，必须先建立运动学量的层级概念：位置描述“在哪里”，速度描述“位置变化多快”，加速度描述“速度变化多快”，而加加速度（jerk）描述“加速度变化多快”。这四个量构成逐阶微分关系，也构成轨迹平滑性的递进约束。
一、四阶运动学量的物理意义
位置是构型空间的坐标，对关节机器人而言就是各关节角，对移动平台而言是位姿坐标。速度决定运动快慢，直接影响节拍。加速度与驱动力矩、惯性力成正比，是电机选型和结构强度的关键。加加速度则决定加速度的突变程度：jerk 过大时，会产生冲击、振动和噪声，甚至激发机械谐振，导致末端抖动或轨迹跟踪误差增大。
因此工程上常说“位置决定去哪，速度决定多快，加速度决定多大力，jerk 决定多平稳”。在高速高精场景中，jerk 限制往往比速度限制更能决定实际可用性能。
二、正运动学与逆运动学
正运动学（FK）解决“已知关节变量，求末端位姿”的问题，通常由 DH 参数或产品几何模型直接建立，计算稳定、解唯一。逆运动学（IK）解决“已知末端目标位姿，求关节变量”的问题，是轨迹规划的核心难点：可能存在多解、无解或奇异，需要结合关节限位、避障和连续性选择合理解。
# 正运动学示意（伪代码）
T = I
for i in range(n):
T = T @ A_i(q[i]) # A_i 为相邻连杆变换
pose = T # 末端位姿
# 逆运动学示意
q_candidates = solve_ik(target_pose)
q = select(q_candidates, limits, continuity, collision)正逆运动学的分工决定了规划流程：先在任务空间描述目标，再通过 IK 映射到关节空间，最后在关节空间做时间参数化与约束检查。
三、工作空间与关节空间
工作空间是末端可达位姿的集合，受连杆长度、关节限位和奇异位形影响；关节空间是各关节变量的组合空间。两者关系并非简单一一对应：工作空间中的同一点可能对应多组关节解，而关节空间中的直线插值映射到工作空间后往往不是直线。
| 对比项 | 工作空间 | 关节空间 |
|---|---|---|
| 描述对象 | 末端位姿 | 关节变量 |
| 直观性 | 高，贴近任务 | 低，贴近执行 |
| 约束来源 | 可达性、奇异、避障 | 关节限位、速度/加速度上限 |
| 插值特性 | 易出现奇异与不可达 | 平滑但末端路径不可控 |
| 典型用途 | 任务定义与可达性检查 | 时间参数化与伺服下发 |
四、运动学约束的表示
运动学约束通常以不等式形式表示，逐阶作用于轨迹：
- 位置约束：q_min ≤ q(t) ≤ q_max，对应关节限位与软限位。
- 速度约束：|dq/dt| ≤ v_max，决定节拍上限。
- 加速度约束：|d²q/dt²| ≤ a_max，关联力矩与惯性力。
- 加加速度约束：|d³q/dt³| ≤ j_max，控制冲击与振动。
这些约束共同定义了轨迹的可行域。规划器必须在满足全部约束的前提下，尽量缩短时间或优化平滑度。常见做法是先做几何路径规划，再做时间参数化，最后逐段校验约束。
五、案例：单关节点到点运动
设某关节从 0° 运动到 90°，要求 1 s 内完成。若采用梯形速度曲线，加速度在起止点突变，jerk 为冲激，实际会产生明显冲击。改用 S 型曲线后，加速度连续变化，jerk 被限制在设定范围内，末端振动显著降低，但总时间可能略增。这正是“平滑性换时间”的典型权衡。
梯形速度：v 线性升降，a 阶跃，jerk 冲激
S 型曲线：v 平滑升降，a 连续，jerk 有界
约束检查：q ∈ [q_min,q_max], |v|≤v_max, |a|≤a_max, |j|≤j_max六、常见误区与复盘
- 误区一：只关注末端路径，忽略关节空间约束，导致规划结果不可执行。
- 误区二：认为速度越小越安全，实际上过慢可能引起爬行与摩擦非线性。
- 误区三：忽略 jerk 限制，高速启停时出现冲击与谐振。
- 误区四：IK 多解时未做连续性选择，导致关节跳变。
复盘要点：任何轨迹都必须同时通过位置、速度、加速度、jerk 四层校验，并在工作空间与关节空间之间完成一致性映射。只有把运动学量的层级关系和约束表示清楚，后续的轨迹规划算法才有可靠的物理基础。