3. XTS 轨道几何与坐标系建立
XTS 的路径规划之所以能精确到毫米级，前提是轨道几何被完整地数学化描述。XTS 的轨道不是一条简单的直线或圆弧，而是由若干几何段拼接而成的连续路径，动子在其上运动时，控制器必须随时知道"动子现在在哪一段、段内走了多远、朝向如何"。本节围绕轨道段、曲线段、直线段与道岔的几何描述，建立轨道坐标系与动子位置表示方法，为后续路径规划提供数学基础。
一、轨道几何的基本构成单元
XTS 的轨道由标准化的轨道段（Track Segment）拼接而成，每一段在几何上可归为三类基本单元：
- 直线段（Straight）：几何上是一条直线，动子沿其运动时朝向不变，长度通常为固定规格（如 250 mm、500 mm 等）。
- 曲线段（Curve）：几何上是圆弧，具有固定的曲率半径 R 和圆心角 θ，动子沿其运动时朝向随弧长连续变化。XTS 常见曲线段半径有 90 mm、180 mm、250 mm 等规格。
- 道岔（Switch / Junction）：几何上是一个分叉点，动子在此可以选择进入不同分支，因此道岔不是单一曲线，而是"入口段 + 分支段"的组合，需要额外的状态描述（当前导通方向）。
这三类单元首尾相接，形成一条连续的轨道链。拼接的关键约束是切向连续：相邻两段在连接点处的切线方向必须一致，否则动子经过时会产生朝向突变，机械上不可实现。因此直线段只能与切线方向一致的曲线段相接，曲线段之间也需满足切线方向匹配。
二、轨道坐标系与弧长参数化
为了统一描述动子在整条轨道上的位置，XTS 采用轨道坐标系（Track Coordinate System），其核心思想是：把整条轨道看作一条一维曲线，用一个标量 s 表示动子沿轨道从起点走过的弧长。s 称为弧长参数，单位通常为 mm。
在轨道坐标系下，动子位置不再用二维 (x, y) 表示，而是用 (s, d) 表示：
- s：沿轨道中心线的弧长，从轨道起点（s = 0）开始累加，是动子的"纵向位置"。
- d：动子相对轨道中心线的横向偏移，正常运行时 d = 0，仅在需要描述动子偏心或轨道宽度时使用。
这种参数化的好处是：动子沿轨道运动时，s 单调变化，速度就是 ds/dt，加速度就是 d²s/dt²，路径规划问题被简化为一维问题。当需要输出到二维平面时，再通过每段的几何映射把 s 转换为 (x, y, φ)，其中 φ 是动子在该点的朝向角。
三、各几何段的 s 到 (x, y, φ) 映射
设某段的起点弧长为 s₀，起点坐标为 (x₀, y₀)，起点朝向为 φ₀，段内局部弧长为 u = s − s₀，则：
直线段（长度 L）：
x = x₀ + u · cos(φ₀)
y = y₀ + u · sin(φ₀)
φ = φ₀
u ∈ [0, L]曲线段（半径 R，圆心角 θ，转向符号 σ = +1 左转 / −1 右转）：
φ = φ₀ + σ · u / R
x = x₀ + R · [sin(φ) − sin(φ₀)] · σ
y = y₀ − R · [cos(φ) − cos(φ₀)] · σ
u ∈ [0, R·θ]注意曲线段的弧长上限是 R·θ，而不是圆心角本身。例如 R = 180 mm、θ = 90° = π/2 rad 的曲线段，弧长为 180 × 1.5708 ≈ 282.7 mm。
道岔：道岔本身可视为一个短入口段加两个分支段。入口段用直线或小曲线描述，分支段各自用曲线描述，动子进入道岔时根据当前导通方向选择分支，s 在分支上继续累加。因此道岔需要额外记录"当前分支编号"，同一 s 值在不同分支下对应不同 (x, y, φ)。
四、几何描述与坐标映射示意
下图把一条由直线段、曲线段和道岔组成的轨道链，与轨道坐标系下的弧长参数 s 对应起来，并标出各段起点的 (x, y, φ) 与段内映射关系。
五、动子位置表示与状态量
在控制器内部，一个动子的位置状态通常包含以下量：
| 状态量 | 含义 | 单位 | 说明 |
|---|---|---|---|
| s | 沿轨道弧长 | mm | 全局单调递增，道岔分支处需配合分支号 |
| v | 沿轨道速度 | mm/s | ds/dt，可为负表示反向 |
| a | 沿轨道加速度 | mm/s² | d²s/dt²，受动子推力与曲线向心加速度限制 |
| branch | 道岔分支编号 | — | 仅在道岔段有效，0 表示未进入道岔 |
| φ | 动子朝向角 | rad | 由 s 经段内映射得到，用于姿态控制 |
其中 s、v、a 是路径规划的直接控制对象，φ 和 (x, y) 是派生量。规划器只需在 s 轴上做加减速规划，再通过段内映射得到实际位姿，这就是 XTS 路径规划"一维化"的核心优势。
六、曲线段的向心加速度约束
曲线段上动子除了沿轨道切向运动，还存在向心加速度 a_c = v² / R。这个值直接限制了动子在曲线段上的最大允许速度：
v_max = sqrt(a_c_max · R)例如取 a_c_max = 20 m/s² = 20000 mm/s²，R = 120 mm，则 v_max = sqrt(20000 × 120) ≈ 1549 mm/s。若规划速度超过该值，动子在曲线段上会因向心加速度过大而触发保护或产生轨迹误差。因此路径规划时必须在进入曲线段前把速度降到 v_max 以下，这也是曲线段半径选择的重要依据。
七、几何描述的实际建立流程
在实际工程中，建立轨道几何描述通常按以下顺序进行：
- 按机械装配图列出所有轨道段的类型、顺序、长度/半径/圆心角，形成段列表。
- 指定轨道起点 s = 0 的位置与初始朝向 φ₀，通常取轨道最左端或某个定位基准。
- 逐段累加弧长，计算每段起点的 s₀、坐标 (x₀, y₀) 和朝向 φ₀，形成段起点表。
- 对道岔段，分别记录入口段和每个分支段的几何参数，并标注分支编号。
- 校验相邻段连接点的切向连续性：直线段与曲线段连接处 φ 必须一致，曲线段之间 φ 也必须一致。
- 把段起点表和段内映射公式写入控制器配置，作为路径规划与位置反馈的几何基础。
完成上述步骤后，控制器就能在任意时刻根据动子的 s 值反查所在段，代入对应公式得到 (x, y, φ)，实现从一维弧长到二维位姿的完整映射。这套几何描述是后续路径规划、站点定位和道岔控制的共同数学基础。