3. 机器人运动学与坐标系

离线编程的所有几何计算，最终都要落到两套坐标描述上：一套是控制器直接驱动的关节空间，另一套是工艺人员关心的笛卡尔空间。理解这两套空间之间的双向映射，以及工具坐标系（TCP）与工件坐标系（Wobj）的标定原理，是后续轨迹生成、碰撞检测与虚拟调试的数学基础。

一、关节空间与笛卡尔空间：两种描述，两种用途

以一台六轴串联机器人为例，关节空间用 6 个关节角 q = [q1, q2, q3, q4, q5, q6] 描述位形，单位通常为度或弧度。它的优点是唯一、无奇异、可直接下发到伺服；缺点是"看不出机器人手在哪"。笛卡尔空间用位姿 T = [x, y, z, rx, ry, rz] 描述末端，位置单位 mm，姿态常用欧拉角或四元数。它的优点是直观、便于与 CAD 模型对齐；缺点是同一末端位姿可能对应多组关节角（多解），且在腕部奇异附近姿态角会剧烈跳变。

离线编程中常见的做法是：在笛卡尔空间规划路径点，在关节空间做插补与限幅。例如一条直线焊缝，工艺要求末端沿直线以 8 mm/s 匀速运动，这是笛卡尔约束；但控制器实际执行的是关节插补，需要把直线离散成若干笛卡尔点，逐点逆解成关节角，再检查关节速度、加速度是否超限。

二、正运动学：从关节角算出末端位姿

正运动学是"已知 q，求 T"，靠的是 DH 参数与连杆变换矩阵连乘。以标准 DH 约定为例，相邻连杆变换为：

^i-1 T_i = Rot_z(θi) · Trans_z(di) · Trans_x(ai) · Rot_x(αi)

T_0_6 = ^0T_1 · ^1T_2 · ^2T_3 · ^3T_4 · ^4T_5 · ^5T_6

其中 θi 为关节角，di 为连杆偏距，ai 为连杆长度，αi 为连杆扭角。以某 6 轴机器人为例，假设 a2 = 600 mm、a3 = 120 mm、d1 = 500 mm、d4 = 640 mm、d6 = 100 mm，其余参数为 0。当 q = [0°, 0°, 90°, 0°, 90°, 0°] 时，可算得末端位置约为 x ≈ 720 mm、y ≈ 0 mm、z ≈ 1140 mm（示例参数，仅用于说明计算流程，非实测值）。正运动学是唯一确定的，不存在多解问题，因此常被用来做标定验证：给定一组关节角，实测末端位置与正解结果比对，偏差即反映标定误差。

三、逆运动学：从末端位姿反求关节角

逆运动学是"已知 T，求 q"，是离线编程中最容易出问题的环节。六轴机器人通常存在 8 组解（肩左/肩右 × 肘上/肘下 × 腕翻转/不翻转），需要按"关节行程余量最大、远离奇异、与前一点关节角距离最小"的原则选解。工程上常用解析法（Pieper 准则，适用于腕部三轴交于一点的机器人）或数值法（雅可比迭代）。

逆解失败或跳变的典型原因有三类：一是目标点超出工作空间；二是接近腕部奇异（q5 ≈ 0°），此时 q4 与 q6 耦合，微小笛卡尔扰动会引起关节角大幅变化；三是选解策略不当，导致相邻点关节角突变，表现为机器人"甩腕"。离线编程软件中通常提供"配置号"或"姿态标志"来锁定解分支，例如 KUKA 的 Status/Turn 位、ABB 的 cfx 配置，必须在示教与仿真中保持一致。

四、工具坐标系标定：让程序点落在工具尖端

工具坐标系（TCP）定义在法兰坐标系下，包含偏移 (x, y, z) 与姿态 (rx, ry, rz)。离线编程中如果 TCP 不准，所有路径点都会整体偏移，焊接会偏缝、涂胶会偏线。工程上最常用的是四点法：在机器人工作空间内固定一个尖点（如顶针），用工具尖端以四种不同姿态去触碰它，记录四组法兰位姿，通过最小二乘解出 TCP 偏移。四点法只能解位置，姿态需再用六点法或直接输入工具 CAD 模型姿态。

实操中要注意：四点法的四个姿态应尽量分散，避免共面或姿态差异过小，否则方程病态、解不稳定。标定完成后，用"绕 TCP 旋转"验证——让机器人以不同姿态绕 TCP 点转动，若工具尖端始终不动，说明 TCP 正确。典型验收标准是重复触碰同一点的位置偏差小于 0.5 mm（示例判据，具体按工艺要求设定）。

五、工件坐标系标定：把程序绑到工件上

工件坐标系（Wobj）描述工件相对基坐标系的位置与姿态。常用三点法：示教工件原点 O、X 轴正方向上一点 Px、XY 平面内一点 Pxy，由三点构造出 Wobj 的 X 轴、Y 轴与 Z 轴。这样做的价值在于：当工件被重新装夹、位置发生平移或旋转时，只需重新标定 Wobj，原有程序点无需修改即可继续使用。

在离线编程中，Wobj 还承担"对齐 CAD"的作用。通常把 CAD 模型的原点与 Wobj 原点重合，这样在软件中拾取的特征点坐标可以直接作为程序点。虚拟调试时，若仿真中 Wobj 与现场实测 Wobj 存在偏差，就会出现"仿真通过、现场偏位"的典型问题，因此 Wobj 标定数据必须与仿真模型同步更新。

六、离线编程中的实际处理流程

以一个焊接任务为例，完整的数学处理链是：在 CAD 中提取焊缝特征点（工件坐标系下）→ 按工艺要求生成路径点与姿态 → 通过 Wobj 变换到基坐标系 → 逐点逆解为关节角 → 检查关节限位、速度、奇异 → 生成控制器可执行程序。其中逆解与奇异检查是离线编程软件的核心计算，也是虚拟调试阶段最需要关注的环节。

判断逆解结果是否可用，通常看三个指标：关节角是否在软限位内、相邻点关节角变化是否平滑、雅可比矩阵条件数是否过大。若某点条件数超过阈值（例如 1×10⁴，示例值），说明接近奇异，应调整路径姿态或增加过渡点。把这些检查做在离线阶段，可以显著减少现场调试时间。

掌握关节空间与笛卡尔空间的双向映射、正逆运动学的计算逻辑，以及 TCP 与 Wobj 的标定方法，才能在离线编程中正确建立程序点、正确解释仿真结果，并为后续的轨迹规划与虚拟调试提供可靠的数学依据。