3. 单相机标定基础
3.1 棋盘格标定法原理
棋盘格标定法是机器视觉领域最广泛使用的单相机内参标定方法。其核心思想是通过拍摄已知物理尺寸的平面棋盘格图案，利用角点检测与透视投影几何，求解相机的内参矩阵与畸变系数。
核心假设：棋盘格平面在物理空间中是平面，且所有角点坐标在物体坐标系中精确已知。标定过程中，相机与棋盘格之间的相对位姿可以任意变化，但棋盘格平面必须清晰成像。
3.1.1 棋盘格标定的数学模型
设棋盘格上任意角点的世界坐标为 Pw = [X, Y, 0, 1]T（Z=0 表示平面约束），其对应的像素坐标为 p = [u, v, 1]T。根据针孔相机模型，两者的映射关系为：
s * [u, v, 1]^T = K * [r1, r2, r3, t] * [X, Y, 0, 1]^T
= K * [r1, r2, t] * [X, Y, 1]^T其中：
- K：相机内参矩阵，包含焦距 (fx, fy) 与主点 (cx, cy)
- r1, r2：旋转矩阵的前两列，对应 X 轴与 Y 轴方向
- t：平移向量
- s：尺度因子
由于 Z=0，旋转矩阵的第三列 r3 被消去，因此每张图像提供 2 个约束方程。求解内参矩阵 K 至少需要 3 张不同位姿的图像（共 6 个约束，内参矩阵有 5 个自由度）。
3.1.2 标定流程
- 图像采集：拍摄 10~20 张不同角度、不同距离的棋盘格图像
- 角点检测：使用亚像素级角点检测算法提取所有内角点坐标
- 单应性矩阵求解：对每张图像计算世界坐标到像素坐标的单应性矩阵 H
- 内参初值估计：利用旋转矩阵的正交约束，从多张 H 矩阵中线性求解 K
- 畸变参数估计：引入径向畸变与切向畸变模型，最小化重投影误差
- 全局优化：使用 Levenberg-Marquardt 算法对所有参数进行非线性优化
| 参数类别 | 符号 | 物理含义 | 典型值范围 |
|---|---|---|---|
| 焦距 | fx, fy | 镜头光学中心到成像平面的距离（像素单位） | 1000 ~ 10000 |
| 主点 | cx, cy | 光轴与成像平面的交点坐标 | 图像中心附近 |
| 径向畸变 | k1, k2, k3 | 镜头曲率引起的图像变形系数 | -0.5 ~ 0.5 |
| 切向畸变 | p1, p2 | 镜头与成像平面不平行引起的变形系数 | -0.05 ~ 0.05 |
3.2 张正友标定法在线阵相机上的适配
张正友标定法（Zhang's Method）是棋盘格标定法的经典实现，其核心创新在于利用平面棋盘格与相机之间的单应性约束，通过闭合解求解内参初值，再通过非线性优化得到精确结果。然而，该方法最初针对面阵相机设计，直接应用于线阵相机时需要关键适配。
线阵相机适配难点：线阵相机每次只采集一行像素，无法像面阵相机那样直接获得二维图像。棋盘格标定法依赖二维角点分布来求解单应性矩阵，因此必须通过扫描运动或特殊标定板设计来重建二维信息。
3.2.1 线阵相机的成像模型差异
线阵相机的成像模型可视为面阵相机在垂直扫描方向上的退化版本：
- 单行成像：每次曝光只记录一行像素，图像宽度为 1 像素，高度为扫描行数
- 运动补偿：需要精确的编码器或运动平台提供行触发信号，保证每行像素对应的物理位置已知
- 内参矩阵简化：线阵相机的内参矩阵 K 为 2×3 矩阵，仅包含一个焦距参数 f 和一个主点偏移 cx
3.2.2 适配策略：扫描式棋盘格标定
针对线阵相机的特点，张正友标定法的适配方案如下：
- 棋盘格沿扫描方向移动：将棋盘格固定在高精度平移台上，沿垂直于线阵的方向匀速移动
- 行同步采集：编码器每触发一次，线阵相机采集一行，同时记录当前棋盘格的位置
- 二维图像重建：将采集到的所有行按扫描顺序拼接，形成完整的棋盘格图像
- 角点提取与匹配：在重建图像上使用标准角点检测算法，并将像素坐标与已知的世界坐标关联
- 单应性矩阵求解：由于线阵相机只有一行有效像素，单应性矩阵退化为 2×3 矩阵，需要至少 3 个非共线角点才能求解
工程建议：线阵相机标定时，棋盘格应倾斜放置（与扫描方向成 10°~30° 夹角），以确保角点在扫描方向上分布均匀，避免退化配置导致求解失败。
3.2.3 适配后的参数优化
线阵相机标定的优化目标函数为：
min Σ || p_i - f(K, R_i, t_i, P_i) ||^2其中：
- p_i：第 i 个角点的像素坐标（u, v）
- P_i：第 i 个角点的世界坐标（X, Y, Z=0）
- K：线阵相机内参矩阵 [f, 0, cx; 0, 0, 1]
- R_i, t_i：第 i 次扫描时相机与棋盘格的相对位姿
由于线阵相机只有一行像素，v 坐标在理想情况下应为常数，实际标定中需额外考虑扫描方向与线阵方向的垂直度误差。
3.3 标定板设计与制作要求
标定板的质量直接影响标定精度。对于线阵相机标定，标定板的设计需要同时满足面阵标定的通用要求和线阵扫描的特殊要求。
3.3.1 棋盘格标定板的核心参数
| 参数 | 面阵相机标定 | 线阵相机标定 | 推荐值 |
|---|---|---|---|
| 棋盘格尺寸 | 正方形格，边长 10~50 mm | 正方形格，边长 5~20 mm | 根据视场与分辨率确定 |
| 角点数量 | 8×6 ~ 12×9 | 4×4 ~ 8×6 | 线阵建议 6×6 以上 |
| 制作精度 | ±0.01 mm | ±0.005 mm | 线阵要求更高 |
| 基底材料 | 玻璃、陶瓷、金属 | 玻璃、陶瓷 | 低热膨胀系数 |
| 图案工艺 | 印刷、光刻 | 光刻、镀膜 | 边缘清晰无毛刺 |
3.3.2 线阵相机专用标定板设计
针对线阵相机的扫描特性，推荐以下两种标定板设计方案：
方案一：标准棋盘格 + 倾斜扫描
使用标准正方形棋盘格，将其固定在高精度平移台上，棋盘格平面与扫描方向成 15°~25° 夹角。此方案兼容性好，可直接使用现有标定板，但需要精确的倾斜角度测量。
使用标准正方形棋盘格，将其固定在高精度平移台上，棋盘格平面与扫描方向成 15°~25° 夹角。此方案兼容性好，可直接使用现有标定板，但需要精确的倾斜角度测量。
方案二：梯形棋盘格
将棋盘格设计为梯形形状，梯形长边与短边的比例与扫描速度匹配。此方案可补偿扫描过程中的透视变形，使角点在重建图像中均匀分布，但制作成本较高。
将棋盘格设计为梯形形状，梯形长边与短边的比例与扫描速度匹配。此方案可补偿扫描过程中的透视变形，使角点在重建图像中均匀分布，但制作成本较高。
3.3.3 标定板制作工艺要求
- 图案精度：角点位置误差应小于 0.01 mm，建议使用光刻或激光雕刻工艺
- 平面度：标定板表面平面度应优于 0.02 mm，避免引入额外的畸变
- 对比度：黑白格之间的反射率差异应大于 80%，确保角点检测的鲁棒性
- 尺寸稳定性：选用低热膨胀系数材料（如石英玻璃、微晶玻璃），温度变化时形变小于 0.005 mm
- 防反射处理：表面做防反射涂层处理，避免高光反射影响角点检测
常见制作缺陷：印刷棋盘格在边缘处容易出现油墨扩散，导致角点位置偏移 0.1~0.3 像素。对于线阵相机标定，这种偏移会被放大，建议使用光刻工艺制作高精度标定板。
3.3.4 标定板使用规范
- 清洁维护：每次使用前用无尘布擦拭，避免灰尘和指纹影响成像质量
- 固定方式：使用真空吸附或机械夹持，确保标定板在扫描过程中不发生位移
- 光照条件：使用均匀的漫反射光源，避免局部过曝或阴影
- 标定频率：每次重新安装镜头或调整相机位置后，必须重新标定
- 环境控制：标定环境温度应控制在 20°C ± 2°C，湿度小于 60%
3.4 本章小结
单相机标定是多相机线扫系统全局标定的基础。棋盘格标定法通过平面约束与单应性矩阵求解，能够高效获取相机内参；张正友标定法在线阵相机上的适配需要解决二维信息缺失问题，扫描式棋盘格标定是主流方案；标定板的设计与制作质量直接决定标定精度上限，线阵相机标定对标定板的平面度、图案精度和尺寸稳定性提出了更高要求。