3. 坐标系定义与转换

在四相机3D线扫系统中，被测物体的三维空间位置需要经过四次坐标变换才能最终映射到数字图像中的像素坐标。这四个坐标系构成了从物理世界到数字图像的完整链路，是精度评估与误差溯源的基础。

3.1 四大坐标系定义

3.2 坐标系转换链路

从世界坐标点到像素坐标的完整转换包含四个步骤，每个步骤对应一个变换矩阵：

1. 刚体变换：世界坐标系 → 相机坐标系（旋转R + 平移t）
2. 透视投影：相机坐标系 → 图像坐标系（针孔模型）
3. 畸变校正：图像坐标系内的非线性偏移（径向+切向畸变）
4. 离散化：图像坐标系 → 像素坐标系（缩放+平移）

s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [Xw, Yw, Zw, 1]^T

其中：
  s        — 尺度因子（深度相关）
  K        — 相机内参矩阵（3×3）
  [R | t]  — 相机外参矩阵（3×4）
  [Xw,Yw,Zw,1]^T — 世界坐标齐次向量

3.3 各变换的数学表达

3.3.1 刚体变换（外参）

将世界坐标点 P_w 变换到相机坐标系下：

Pc = R * Pw + t

齐次形式：
| Xc |   | r11 r12 r13 tx | | Xw |
| Yc | = | r21 r22 r23 ty | | Yw |
| Zc |   | r31 r32 r33 tz | | Zw |
| 1  |   |  0   0   0   1 | | 1  |

其中 R 为 3×3 旋转矩阵（正交约束），t 为 3×1 平移向量。四相机系统中，每个相机的外参矩阵 [R|t] 均不同，需要通过标定获得。

3.3.2 透视投影（内参）

将相机坐标投影到归一化图像平面：

x = fx * Xc / Zc + cx
y = fy * Yc / Zc + cy

矩阵形式（齐次）：
s * | x |   | fx  0  cx | | Xc |
    | y | = | 0  fy cy | | Yc |
    | 1 |   | 0   0  1 | | Zc |

其中 fx、fy 为等效焦距（单位：像素），cx、cy 为主点偏移。对于线扫相机，fx 与 fy 通常不相等，且主点偏移量对测量精度有直接影响。

3.3.3 畸变校正

实际镜头存在非线性畸变，需在校正后获得理想图像坐标：

x_corrected = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + 2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)
y_corrected = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y

其中 r^2 = x^2 + y^2
k1, k2, k3 — 径向畸变系数
p1, p2     — 切向畸变系数

3.3.4 离散化（像素映射）

从图像坐标 (x, y) 到像素坐标 (u, v)：

u = x / dx + u0
v = y / dy + v0

其中：
  dx, dy — 单个像素在 x、y 方向的物理尺寸（mm/pixel）
  u0, v0 — 主点在像素坐标系中的位置（通常接近图像中心）

3.4 四相机系统的坐标系统一

在四相机3D线扫系统中，四个相机各自独立完成上述转换后，必须通过联合标定将所有测量结果统一到同一个世界坐标系下。统一流程如下：

1. 单相机标定：分别标定每个相机的内参矩阵 K_i 和畸变系数（i=1,2,3,4）。
2. 外参标定：使用公共标定靶，求解每个相机相对于世界坐标系的旋转矩阵 R_i 和平移向量 t_i。
3. 坐标统一：将各相机重建的3D点通过下式转换到世界坐标系：

Pw_i = R_i^(-1) * (Pc_i - t_i)

其中 Pc_i 为第 i 个相机坐标系下的3D点坐标。

3.5 精度影响分析