2. 无人机动力学基础
无人机在空中的运动，本质上是一个刚体在三维空间中的受力和力矩作用结果。要建立可用于仿真并与实飞数据对标的动力学模型，必须回答三个问题：用什么坐标描述运动、受哪些力和力矩、如何把力与运动联系起来。本节围绕刚体动力学、六自由度运动方程、坐标系定义与转换、牛顿-欧拉方法四条主线展开，为后续气动力建模、控制律设计和实飞对标打下基础。
一、核心原理：从质点动力学到刚体动力学
质点动力学只关心质心平动，而无人机的姿态变化、旋翼反扭矩、机臂惯性都会显著影响飞行品质，因此必须按刚体处理。刚体动力学的基本假设是：机体内部各点相对距离不变，质量分布用惯性张量描述，运动可分解为质心平动与绕质心转动。
牛顿第二定律给出平动方程，欧拉方程给出转动方程，两者合称牛顿-欧拉方法。其核心思想是：先在外界坐标系中描述质心运动，再在机体系或惯性系中描述角运动，通过坐标系转换把气动力、重力、推力统一到同一参考系中求解。
平动：外力 = 质量 × 质心加速度
转动：外力矩 = 惯性张量 × 角加速度 + 角速度 × (惯性张量 × 角速度)
二、坐标系定义与转换
无人机动力学中常用的坐标系有三类：
- 惯性系（地面系）：原点固定于地面，常用于描述位置、速度和航向。通常取东北天或北东地，需在仿真开始前明确约定。
- 机体系：原点位于无人机质心，x 轴指向机头，y 轴指向右侧，z 轴指向下方或上方，取决于右手系约定。机体系用于描述气动力、推力和力矩。
- 气流系/速度系：x 轴沿空速方向，用于定义迎角、侧滑角和气动力系数。
坐标系之间的转换通常用旋转矩阵或四元数完成。以欧拉角为例，从机体系到惯性系的旋转可分解为偏航、俯仰、滚转三次旋转。旋转矩阵的每一列对应机体轴在惯性系中的方向余弦。
% 欧拉角转旋转矩阵（Z-Y-X 顺序，单位：弧度）
phi = roll; % 滚转
theta = pitch; % 俯仰
psi = yaw; % 偏航
Rz = [cos(psi) -sin(psi) 0;
sin(psi) cos(psi) 0;
0 0 1];
Ry = [ cos(theta) 0 sin(theta);
0 1 0;
-sin(theta) 0 cos(theta)];
Rx = [1 0 0;
0 cos(phi) -sin(phi);
0 sin(phi) cos(phi)];
R_b2i = Rz * Ry * Rx; % 机体系 -> 惯性系
R_i2b = R_b2i'; % 惯性系 -> 机体系需要特别注意的是，欧拉角在俯仰角接近 ±90° 时会出现万向节死锁，因此高机动仿真中更推荐使用四元数或旋转矩阵直接积分。
三、六自由度运动方程
六自由度指三个平动自由度（位置 x、y、z）和三个转动自由度（姿态 φ、θ、ψ）。完整的六自由度方程由十二个一阶微分方程组成：
| 状态量 | 物理含义 | 方程来源 |
|---|---|---|
| u, v, w | 机体系线速度 | 牛顿第二定律（机体系） |
| p, q, r | 机体系角速度 | 欧拉方程 |
| x, y, z | 惯性系位置 | 速度转换积分 |
| φ, θ, ψ | 欧拉角姿态 | 角速度运动学关系 |
平动方程在机体系中可写为：
m*(u_dot + q*w - r*v) = Fx
m*(v_dot + r*u - p*w) = Fy
m*(w_dot + p*v - q*u) = Fz转动方程在机体系中可写为：
Ixx*p_dot + (Izz - Iyy)*q*r = L
Iyy*q_dot + (Ixx - Izz)*r*p = M
Izz*r_dot + (Iyy - Ixx)*p*q = N其中 Fx、Fy、Fz 是合外力在机体系的分量，L、M、N 是合外力矩。对于多旋翼，合外力主要包括重力、旋翼推力和气动阻力；合外力矩主要包括旋翼推力差、反扭矩和陀螺效应。
四、方法流程：从受力到状态更新
在仿真中，六自由度模型的求解通常按以下流程进行：
- 读取当前状态：位置、速度、姿态、角速度。
- 根据当前状态计算气动力、推力和力矩。
- 把重力和外力统一到机体系或惯性系。
- 代入牛顿-欧拉方程，求线加速度和角加速度。
- 用数值积分方法更新速度和角速度。
- 通过运动学关系更新位置和姿态。
- 进入下一时间步，重复上述过程。
五、案例场景：悬停与俯仰前飞
以四旋翼悬停为例，四个旋翼总推力等于重力，合外力矩为零，因此线加速度和角加速度均为零，无人机保持位置和姿态不变。当需要前飞时，飞控通过降低前侧旋翼转速、提高后侧旋翼转速，产生俯仰力矩，使机体前倾。前倾后，推力在水平方向产生分量，推动无人机向前加速。
这一过程在六自由度方程中体现为：俯仰角 θ 变化 → 机体系推力方向变化 → 惯性系水平力分量出现 → 水平速度增加。若只建立质点模型，就无法解释“先低头、再前飞”的动态过程，也无法与实飞中的姿态响应对标。
六、常见误区与复盘
- 坐标系约定不统一：仿真用北东地，实飞日志用东北天，直接对标会出现符号相反。建议在项目开始前固定一套约定，并在代码注释中写明。
- 忽略惯性张量非对角项：多数小型无人机可近似为对角阵，但大轴距或挂载不对称时，非对角项会引入耦合，导致滚转和偏航响应异常。
- 把欧拉角当小角度处理：大机动飞行时，小角度近似会带来显著误差，应使用完整旋转矩阵或四元数。
- 只对位置不对姿态：实飞对标时，位置曲线吻合不代表姿态和角速度吻合。应同时对比滚转、俯仰、偏航角及三轴角速度。
- 忽略陀螺效应：高速旋转的旋翼在机体转动时会产生陀螺力矩，尤其在快速滚转时不可忽略。