2. 预备知识

MPC（模型预测控制）本质上是在每个采样时刻求解一个带约束的有限时域优化问题，因此它同时依赖四类数学工具：用线性代数描述变量与约束，用优化理论刻画目标与可行域，用动态系统与状态空间模型描述被控对象，用离散化把连续物理世界映射到数字控制器。本章把这四块知识串成一条可落地的工程主线，为后续预测模型、滚动优化和稳定性分析打基础。

一、核心原理：四块知识如何协同

在MPC中，状态空间模型给出预测方程，线性代数把预测方程写成矩阵形式，优化理论负责在约束下求最优控制序列，离散化则决定控制器实际能执行的时间尺度。四者关系可以用下面的信号与数据流图表示：连续对象经离散化进入状态空间模型，模型展开为预测矩阵，优化器在约束下求解，最终只把第一个控制量施加回对象，形成滚动闭环。

二、线性代数：把预测写成矩阵

MPC的预测模型通常写成紧凑矩阵形式。设离散状态空间为 x(k+1)=A x(k)+B u(k)，y(k)=C x(k)。在预测时域 N 内，把未来状态和输出堆叠成向量，可得到 Y = F x(0) + Φ U，其中 U=[u(0),…,u(N-1)]ᵀ。这样，优化变量就是 U，目标函数可写成二次型 Uᵀ H U + 2 fᵀ U + const，约束写成线性不等式。矩阵的秩、特征值、正定性直接决定问题是否凸、是否有唯一解。

• 向量与矩阵：状态、输入、输出统一用列向量表示，便于堆叠。
• 秩与可解性：可控性矩阵 [B AB … Aⁿ⁻¹B] 的秩决定能否把状态驱动到目标。
• 特征值：离散系统稳定要求 A 的特征值都在单位圆内。
• 正定性：权重矩阵 Q、R 正定，保证代价函数严格凸。

三、优化理论：约束下的最优决策

MPC在每个采样周期求解一个有限时域优化问题。工程上最常见的是二次规划（QP）：目标为二次型，约束为线性等式或不等式。优化理论告诉我们：凸问题的局部最优就是全局最优；KKT条件给出最优性判据；可行域为空时控制器无解，必须做软化约束或降级处理。

min  J = Σ (xᵀQx + uᵀRu) + x(N)ᵀP x(N)
s.t. x(k+1) = A x(k) + B u(k)
     u_min ≤ u(k) ≤ u_max
     x_min ≤ x(k) ≤ x_max
     y_min ≤ y(k) ≤ y_max

四、动态系统、状态空间与离散化

被控对象通常以连续微分方程描述，例如电机、无人机、化工过程。数字控制器只能按离散时刻计算，因此必须离散化。常用方法有零阶保持（ZOH）、一阶保持、Tustin变换等。ZOH最符合“控制量在一个采样周期内保持不变”的工程实际，因此MPC中广泛使用。

五、案例：一阶温度系统的离散MPC准备

设一个一阶温度对象：τ dT/dt + T = K u。取 τ=10s，K=2，采样周期 Ts=1s。用ZOH离散化得到 T(k+1)=a T(k)+b u(k)，其中 a=e^(-Ts/τ)≈0.905，b=K(1-a)≈0.190。若目标温度设为50℃，初始温度20℃，输入限幅0~30，则MPC的预测模型、约束和代价函数都可直接由这些参数构造。

tau = 10.0; K = 2.0; Ts = 1.0
a = exp(-Ts/tau)          # 0.9048
b = K * (1 - a)           # 0.1903
# 离散模型: T(k+1) = a*T(k) + b*u(k)
# 约束: 0 <= u <= 30, 20 <= T <= 60

六、复盘：从数学到工程的检查清单

1. 状态空间模型是否与实际对象匹配？可控性、可观性是否满足？
2. 离散化方法是否与控制器执行方式一致？采样周期是否满足香农定理和动态响应要求？
3. 权重矩阵Q、R、P是否正定？量纲是否统一？
4. 约束是否可行？是否存在冲突导致QP无解？
5. 求解器是否能在采样周期内完成计算？是否需要热启动或显式MPC？