2. 电磁场与电路基础
无线电能传输系统看似是“线圈对线圈”的能量搬运，但其背后是一条从场到路、从路到网络的完整物理链条。若把系统设计比作建桥，麦克斯韦方程组是地质与力学规律，电磁感应是桥墩，谐振电路是桥面，阻抗匹配是引桥，耦合模理论则是桥在风载下的振动模型。理解这条链条，才能在效率、距离、频率、体积与成本之间做出可解释的工程取舍。
一、从麦克斯韦方程组到无线传能的物理起点
麦克斯韦方程组以四个方程统一了电场与磁场：高斯电场定律说明电荷产生电场；高斯磁场定律说明不存在磁单极子；法拉第电磁感应定律说明变化的磁场产生电场；安培-麦克斯韦定律说明电流与变化的电场产生磁场。对无线电能传输而言，最关键的是后两者：发射线圈中的交变电流产生交变磁场，交变磁场在接收线圈中感应出电动势，从而在不直接电气接触的情况下传递能量。
在工程近似中，若线圈尺寸远小于波长，可忽略位移电流的辐射效应，采用准静态磁场模型。此时磁场分布可由毕奥-萨伐尔定律计算，互感 M 由两线圈的几何位置、匝数、形状与介质磁导率决定。若系统进入兆赫兹以上频段，线圈尺寸与波长可比，则必须考虑辐射损耗与分布参数，麦克斯韦方程组的完整形式不可再简化。
D 与工作波长 λ 满足 D < λ/10 时，准静态模型通常足够；否则应使用全波电磁仿真提取寄生参数与辐射损耗。二、电磁感应与耦合系数：能量如何“跨过空气”
电磁感应是无线传能的直接机制。发射线圈自感为 L1，接收线圈自感为 L2，两者互感为 M。耦合系数定义为：
k = M / sqrt(L1 * L2) (0 ≤ k ≤ 1)k 反映两线圈磁通交链的紧密程度。轴向距离增大、横向偏移增大、线圈半径不匹配或存在金属遮挡时，k 都会下降。工程上常把 k > 0.5 视为强耦合，0.1 < k < 0.5 为中等耦合，k < 0.1 为弱耦合。强耦合适合高效率近距离充电，弱耦合则常见于远距离或植入式设备。
感应电动势为 V2 = -jωM I1，说明接收端电压与频率、互感、发射电流成正比。但频率升高也会带来趋肤效应、邻近效应与开关损耗，因此不能只靠提高频率来提升传输能力。
三、谐振电路：把无功功率“锁”在系统内部
仅靠电磁感应，系统效率受限于漏感与励磁电流。引入谐振后，发射端与接收端分别通过电容与线圈构成 LC 谐振回路，使无功功率在电感和电容之间往复交换，电源只需补充有功损耗。串联谐振的谐振频率为：
f0 = 1 / (2π * sqrt(L * C))串联谐振在谐振点阻抗最小、电流最大，适合电压源激励；并联谐振在谐振点阻抗最大、电流最小，适合电流源激励。实际系统常采用串联-串联（SS）、串联-并联（SP）、并联-并联（PP）等补偿拓扑。SS 拓扑在谐振时接收端等效为电压源，输出电流与负载无关，适合电池充电；SP 拓扑则具有恒压特性，适合 LED 或传感器供电。
四、阻抗匹配与耦合模理论：从电路到系统的统一视角
阻抗匹配的目标是让源阻抗、负载阻抗与传输网络共轭匹配，从而最大化功率传输并抑制反射。在无线传能中，匹配网络通常由 L 型、π 型或 T 型 LC 网络构成，把接收线圈的等效阻抗变换到整流与负载所需的最佳值。反射系数 Γ 与电压驻波比 VSWR 是常用指标：
Γ = (ZL - Z0) / (ZL + Z0)
VSWR = (1 + |Γ|) / (1 - |Γ|)耦合模理论则从能量交换角度描述两个谐振体之间的相互作用。设发射与接收谐振体的复振幅为 a1、a2，耦合速率为 κ，固有损耗率为 Γ1、Γ2，则：
da1/dt = -(jω1 + Γ1)a1 + jκ a2 + s
da2/dt = -(jω2 + Γ2)a2 + jκ a1当 κ > sqrt(Γ1 Γ2) 时，系统进入强耦合区，能量可在两谐振体间高效交换；当 κ 过小，能量在到达接收端前已被损耗。耦合模理论的价值在于把“效率—距离—频率—品质因数”统一为可解析的判据，尤其适合分析中远距离磁耦合谐振系统。
五、关键参数与工程对照
| 概念 | 数学表达 | 工程含义 | 典型影响 |
|---|---|---|---|
| 互感 M | M = k√(L1L2) | 两线圈磁通交链能力 | 决定接收电压与传输距离 |
| 耦合系数 k | k = M/√(L1L2) | 耦合紧密程度 | k 下降则效率与功率下降 |
| 谐振频率 f0 | 1/(2π√(LC)) | 无功功率交换频率 | 偏离 f0 导致效率骤降 |
| 品质因数 Q | ωL/R = 1/(ωCR) | 谐振回路储能与耗能比 | Q 越高选择性越好，带宽越窄 |
| 耦合速率 κ | 由耦合模方程定义 | 能量交换速度 | κ 与损耗率决定强耦合区 |
六、案例：5W 磁耦合谐振充电器的参数取舍
某 5W 无线充电器工作频率 6.78MHz，发射与接收线圈均为 6 匝平面螺旋，直径 40mm，实测 L1 = L2 = 3.2μH，轴向距离 15mm 时 M = 0.9μH，则 k ≈ 0.28。若采用 SS 补偿，谐振电容按 C = 1/(4π²f0²L) 计算约为 170pF。此时线圈 Q 值约 120，耦合模判据 κ ≈ ωM/(2√(L1L2)) ≈ 1.9×10⁶ rad/s，而 Γ ≈ ω/(2Q) ≈ 1.8×10⁵ rad/s，满足 κ > √(Γ1Γ2)，系统处于强耦合区，可实现较高效率。
若把距离拉大到 30mm，M 降至约 0.25μH，k ≈ 0.078，κ 与损耗率接近，效率明显下降。此时可通过增大线圈直径、增加中继线圈或降低频率来改善，但需权衡体积与电磁兼容。
七、复盘：从场到路的五步设计检查
- 场域判断：确认线圈尺寸与波长关系，决定用准静态模型还是全波仿真。
- 耦合提取：通过实测或仿真获得
L1、L2、M、k随距离与偏移的变化曲线。 - 谐振设计：根据拓扑选择串联或并联补偿，计算谐振电容并校核电压电流应力。
- 匹配网络：把接收端等效阻抗变换到整流器最佳输入阻抗，控制
VSWR < 2。 - 耦合模校核：用
κ与Γ判断是否处于强耦合区，必要时调整 Q 值或频率。
只有把麦克斯韦方程组的场描述、电磁感应的耦合关系、谐振电路的无功管理、阻抗匹配的有功传输以及耦合模理论的系统判据串联起来，才能对无线电能传输系统形成可计算、可验证、可迭代的工程认知。