4. 运动控制基础

梯形速度曲线，说白了就是运动控制里最基础、最常用的速度规划方式。你想想看，名字里带「梯形」，是因为它的速度-时间图像长得像个梯形——匀加速、匀速、匀减速三段。我在刚入行那会儿，第一个上手的电子凸轮项目用的就是梯形曲线，简单、直观、好调。

但简单归简单，里面坑也不少。今天咱们就把它的原理、数学模型和加减速控制掰开揉碎了讲清楚。

4.1 梯形速度曲线的原理

梯形速度曲线的核心思想就一句话：让速度按固定斜率上升，保持一段时间，再按固定斜率下降。整个过程分为三个阶段：

• 加速段：从初始速度 v₀ 匀加速到目标速度 v_max
• 匀速段：以 v_max 匀速运行
• 减速段：从 v_max 匀减速到终止速度 vₑ（通常 vₑ = v₀）

为什么叫「梯形」？你把速度画出来，横轴是时间，纵轴是速度，三段连起来就是个梯形。如果加速时间和减速时间相等，那就是个等腰梯形。如果距离太短，连匀速段都没有，那就变成三角形了——嗯，这种情况我后面会讲。

4.2 数学模型

搞运动控制，数学是躲不开的。不过别怕，梯形曲线的数学很简单，初中物理水平就够了。

咱们先定义几个参数：

符号	含义	单位
v₀	初始速度	mm/s 或 deg/s
v_max	目标速度（最大速度）	mm/s 或 deg/s
vₑ	终止速度	mm/s 或 deg/s
a_max	最大加速度	mm/s² 或 deg/s²
t_a	加速时间	s
t_d	减速时间	s
t_c	匀速时间	s
S	总位移	mm 或 deg

加速段时间：

t_a = (v_max - v₀) / a_max

减速段时间：

t_d = (v_max - vₑ) / a_max

加速段位移：

S_a = v₀ * t_a + 0.5 * a_max * t_a²

减速段位移：

S_d = v_max * t_d - 0.5 * a_max * t_d²

匀速段位移：

S_c = S - S_a - S_d

匀速段时间：

t_c = S_c / v_max

总时间：

T = t_a + t_c + t_d

4.3 加减速控制策略

梯形曲线的加减速控制，说白了就是怎么把上面那套数学公式变成实际可执行的指令。这里有几个关键点：

4.3.1 对称 vs 非对称加减速

对称加减速：t_a = t_d，v₀ = vₑ。这是最常见的情况，计算简单，曲线对称好看。

非对称加减速：t_a ≠ t_d，v₀ ≠ vₑ。比如启动时负载轻可以加速快，停止时负载重需要减速慢。我在一个包装机项目里就遇到过——空载启动加速很快，但满载停止时惯性大，减速必须拉长，不然会过冲。

4.3.2 速度规划流程

实际写代码时，我一般按这个步骤来：

1. 输入参数：v₀, v_max, vₑ, a_max, S
2. 计算 t_a 和 t_d：用上面的公式
3. 计算 S_a 和 S_d：判断是否超过总位移
4. 分支处理：
   • 如果 S_a + S_d < S：有匀速段，正常梯形
   • 如果 S_a + S_d ≥ S：无匀速段，退化为三角形
5. 生成速度曲线：按时间分段输出速度值

4.4 梯形曲线的代码实现

下面是一个简单的梯形速度规划函数，C 语言风格，方便移植到嵌入式系统：

typedef struct {
    float v0;      // 初始速度
    float v_max;   // 最大速度
    float ve;      // 终止速度
    float a_max;   // 最大加速度
    float S;       // 总位移
    float t_a;     // 加速时间
    float t_d;     // 减速时间
    float t_c;     // 匀速时间
    float T;       // 总时间
} TrapezoidProfile;

int TrapezoidPlan(TrapezoidProfile *p) {
    float S_a, S_d, S_c;
    
    // 计算加速和减速时间
    p->t_a = (p->v_max - p->v0) / p->a_max;
    p->t_d = (p->v_max - p->ve) / p->a_max;
    
    // 计算加速和减速位移
    S_a = p->v0 * p->t_a + 0.5f * p->a_max * p->t_a * p->t_a;
    S_d = p->v_max * p->t_d - 0.5f * p->a_max * p->t_d * p->t_d;
    
    // 判断是否有匀速段
    if (S_a + S_d >= p->S) {
        // 三角形曲线，需要重新计算最大速度
        // 这里简化处理，实际需要解二次方程
        p->t_c = 0;
        // 实际项目中需要重新计算 v_max
        return -1;  // 需要重新规划
    }
    
    S_c = p->S - S_a - S_d;
    p->t_c = S_c / p->v_max;
    p->T = p->t_a + p->t_c + p->t_d;
    
    return 0;
}

// 获取某时刻的速度
float GetTrapezoidSpeed(TrapezoidProfile *p, float t) {
    if (t <= p->t_a) {
        // 加速段
        return p->v0 + p->a_max * t;
    } else if (t <= p->t_a + p->t_c) {
        // 匀速段
        return p->v_max;
    } else if (t <= p->T) {
        // 减速段
        float t_dec = t - p->t_a - p->t_c;
        return p->v_max - p->a_max * t_dec;
    } else {
        return p->ve;  // 结束
    }
}

4.5 梯形曲线的知识体系

下面这张图是我自己总结的梯形速度曲线知识框架，方便你理解各个知识点之间的关系：

4.6 实际项目中的注意事项

最后，分享几个我在实际项目中积累的经验：

• 加速度不能设太大：理论上加速度越大加速越快，但实际受限于电机扭矩和机械结构刚性。我见过有人把加速度设到理论值的 80%，结果电机堵转报警。
• 注意速度单位换算：电子凸轮里常用 deg/s，但机械传动比换算到末端可能是 mm/s。搞混单位会出大问题——我曾经在调试时把 deg/s 当成了 mm/s，结果轴直接飞出去了。
• 梯形曲线适合低速场合：如果速度不高、负载不大、精度要求一般，梯形曲线完全够用。但高速高精度场合，建议用 S 形曲线或多项式曲线。
• 别忘了加安全余量：理论计算出来的加减速时间，实际跑的时候建议留 10%-20% 的余量。机械磨损、温度变化都会影响实际性能。

嗯，梯形速度曲线就讲到这里。内容不多，但都是干货。你把这个搞明白了，后面学 S 形曲线和多项式曲线就会轻松很多。