4. 电机数学模型

力矩电机低速平稳控制的核心难点，在于低速时反电动势小、电流谐波与齿槽转矩占比大、摩擦与负载扰动难以忽略。若仍停留在三相静止坐标系下分析，变量是时变交流量，耦合强、控制器设计困难。因此，工程上普遍采用 dq 坐标系建模，把交流量变换为直流量，使转矩与磁链解耦，为电流环、速度环和扰动观测器提供统一模型基础。

一、从三相到 dq：坐标变换与电压方程

设电机为表贴式永磁同步力矩电机，忽略铁耗与磁路饱和。首先用 Clarke 变换把三相量映射到 αβ 静止坐标系，再用 Park 变换旋转到随转子磁场同步的 dq 坐标系。变换后，定子电压方程可写为：

ud = Rs·id + Ld·did/dt − ωe·Lq·iq
uq = Rs·iq + Lq·diq/dt + ωe·(Ld·id + ψf)

其中：
Rs  定子电阻
Ld, Lq  d、q 轴电感
ψf  永磁体磁链
ωe  电角速度，ωe = pn·ωm
pn  极对数
ωm  机械角速度

对表贴式电机 Ld≈Lq=Ls，磁阻转矩可忽略，模型进一步简化。可以看到，dq 轴电压由电阻压降、电感动态项和旋转反电动势项组成。旋转项正是低速控制中需要前馈补偿的部分，否则电流环在低速下仍会出现跟踪滞后与耦合振荡。

二、电磁转矩方程与转矩解耦

在 dq 坐标系下，电磁转矩一般表达式为：

Te = 1.5·pn·[ψf·iq + (Ld − Lq)·id·iq]

第一项是永磁转矩，第二项是磁阻转矩。对于表贴式力矩电机，Ld≈Lq，因此：

Te ≈ 1.5·pn·ψf·iq = Kt·iq

这说明转矩与 q 轴电流近似成正比，Kt 为转矩常数。工程中常采用 id=0 控制，使定子电流全部用于产生转矩，铜耗最小、控制最直接。若为内置式电机，则可利用负向 id 产生磁阻转矩，提高转矩密度，但会引入非线性与参数敏感问题，低速平稳控制中需谨慎使用。

三、机械运动方程与状态空间表达

机械侧描述转矩、负载与转速之间的关系：

J·dωm/dt = Te − TL − B·ωm − Tf

J   转动惯量
TL  负载转矩
B   粘滞摩擦系数
Tf  库仑摩擦与齿槽等非线性扰动

把电气方程与机械方程合并，选取状态变量 x=[id, iq, ωm]^T，输入 u=[ud, uq, TL]^T，可得非线性状态空间模型：

did/dt = (ud − Rs·id + ωe·Lq·iq) / Ld
diq/dt = (uq − Rs·iq − ωe·Ld·id − ωe·ψf) / Lq
dωm/dt = (1.5·pn·ψf·iq − TL − B·ωm − Tf) / J
dθm/dt = ωm

若在低速小信号范围内对 ωe 项做线性化，并忽略 Tf 的非线性，可得到线性状态空间形式 ẋ=Ax+Bu，用于极点配置、LQR 或观测器设计。实际工程中，Tf 与 TL 常被当作总扰动，由扩张状态观测器或扰动观测器估计并前馈补偿。

四、工程案例：低速爬行场景的建模校核

某直驱力矩电机转台要求 0.01°/s 低速爬行，实测出现周期性速度波动。按上述模型排查：先用 id=0 控制，确认 Kt 与 ψf 一致；再测反电动势系数 Ke，校核 ωe·ψf 前馈项；随后辨识 J 与 B，发现 J 比铭牌值大 18%，原因是负载惯量折算未计入。重新整定速度环后，低速波动从 ±8% 降到 ±1.5%。进一步把 Tf 建模为“库仑摩擦+齿槽谐波”，用 DOB 补偿，爬行现象基本消除。

五、常见误区与复盘清单

综上，dq 坐标系建模把力矩电机的电磁关系转化为 id、iq 两路直流量，电磁转矩方程给出 Te 与 iq 的定量关系，机械运动方程描述转速与转矩、负载、摩擦的动态平衡，状态空间表达则把两者统一为可设计、可观测、可补偿的模型。只有把模型参数、坐标变换和扰动建模三者结合，低速平稳控制才有可靠的分析与设计基础。