4. 数学模型
同步磁阻电机（SynRM）的转子没有永磁体，也没有励磁绕组，转矩完全来自磁阻变化。因此它的数学模型与永磁同步电机（PMSM）最大的区别在于：磁链不是由转子磁钢“注入”的，而是由定子电流在交直轴不同磁路上产生的。理解这一点，是建立三相静止坐标系与两相旋转坐标系方程的前提。
一、三相静止坐标系（ABC）下的基本方程
在三相静止坐标系中，定子三相绕组电压方程可写为：
uA = Rs·iA + dψA/dt
uB = Rs·iB + dψB/dt
uC = Rs·iC + dψC/dt其中 Rs 为定子相电阻，ψA、ψB、ψC 为三相绕组总磁链。由于 SynRM 转子凸极，气隙磁导随转子位置角 θr 周期性变化，因此三相自感与互感都是 θr 的函数：
ψA = LA(θr)·iA + MAB(θr)·iB + MAC(θr)·iC
ψB = MBA(θr)·iA + LB(θr)·iB + MBC(θr)·iC
ψC = MCA(θr)·iA + MCB(θr)·iB + LC(θr)·iC可以看到，ABC 坐标系下的电感矩阵是时变、耦合的，直接用它做控制器设计非常困难。这也是工程上必须做坐标变换的根本原因。
二、两相旋转坐标系（dq）下的电压与磁链方程
通过 Clarke 变换与 Park 变换，把三相量投影到随转子同步旋转的 dq 轴上。SynRM 的 d 轴定义为磁阻最小方向（通常对应转子磁桥方向），q 轴为磁阻最大方向。此时磁链方程变得非常简洁：
ψd = Ld · id
ψq = Lq · iq电压方程则包含旋转反电势项：
ud = Rs·id + dψd/dt − ωe·ψq
uq = Rs·iq + dψq/dt + ωe·ψd其中 ωe 为电角速度。把磁链代入并假设电感不随时间变化（线性磁路），可得常用的电流形式：
ud = Rs·id + Ld·did/dt − ωe·Lq·iq
uq = Rs·iq + Lq·diq/dt + ωe·Ld·id注意：SynRM 没有永磁磁链项 ψf，这是它与 PMSM 方程最直观的差别。uq 中的 ωe·Ld·id 项就是磁阻转矩的“来源电压”，它由 d 轴电流在旋转中感应产生。
三、转矩方程与磁阻转矩本质
在 dq 坐标系下，SynRM 的电磁转矩为：
Te = (3/2)·p·(ψd·iq − ψq·id)
= (3/2)·p·(Ld − Lq)·id·iq其中 p 为极对数。该式说明：
- 转矩由 id 与 iq 的乘积决定，任一为零则转矩为零；
- 转矩方向由 (Ld − Lq) 的符号决定，工程上通常 Ld > Lq，因此需要 id 与 iq 同号才能产生正向转矩；
- 凸极比 Ld/Lq 越大，单位电流产生的转矩越大，这是 SynRM 转子设计的核心指标。
机械运动方程为：
Te − TL = J·dωm/dt + B·ωm其中 TL 为负载转矩，J 为转动惯量，B 为阻尼系数，ωm 为机械角速度，且 ωe = p·ωm。
四、坐标变换关系与参数对照
从 ABC 到 dq 的变换（幅值不变原则）可写为：
id = (2/3)·[iA·cosθ + iB·cos(θ−120°) + iC·cos(θ+120°)]
iq = −(2/3)·[iA·sinθ + iB·sin(θ−120°) + iC·sin(θ+120°)]下表汇总了两种坐标系下方程的关键差异，便于工程对照：
| 对比项 | 三相静止坐标系 ABC | 两相旋转坐标系 dq |
|---|---|---|
| 电感矩阵 | 时变、含互感耦合 | 常数 Ld、Lq，解耦 |
| 磁链方程 | ψ = L(θr)·i | ψd = Ld·id，ψq = Lq·iq |
| 电压方程 | 仅含 dψ/dt | 含旋转项 −ωe·ψq、+ωe·ψd |
| 转矩表达 | 需瞬时功率推导 | Te = 1.5p(Ld−Lq)id·iq |
| 控制适用性 | 不适合直接闭环 | 适合电流环、速度环设计 |
五、工程案例：从方程到电流分配
某 5.5 kW SynRM，p = 2，Ld = 120 mH，Lq = 30 mH，Rs = 1.2 Ω。若要求输出 Te = 10 N·m，且采用最大转矩电流比（MTPA）思想，可先由转矩方程反推 id、iq 组合：
Te = 1.5 × 2 × (0.12 − 0.03) × id × iq = 0.27·id·iq
令 id·iq = 10 / 0.27 ≈ 37.0
若取 id = iq ≈ 6.1 A，则定子电流幅值约 8.6 A实际调试中，若发现同样 id、iq 下转矩偏小，应优先怀疑 Ld、Lq 参数辨识不准，或磁路饱和导致电感下降。SynRM 的 Ld 在大电流下会明显减小，因此高负载时转矩方程需要用饱和后的电感值修正。
六、常见误区与复盘
- 误区一：把 SynRM 当成 PMSM 直接套方程。 SynRM 没有 ψf，若在 uq 中保留永磁项，会导致前馈补偿错误、电流环震荡。
- 误区二：忽略旋转反电势项。 高速时 ωe·Ld·id 可能远大于电阻压降，若电流环不补偿，动态响应会明显变差。
- 误区三：认为 Ld、Lq 是常数。 实际磁路饱和使 Ld 随 id 下降，Lq 也受交叉饱和影响，高精度控制需在线辨识或查表。
- 复盘要点： 先确认 d 轴定义与转子位置角对齐方式，再核对转矩公式中的 3/2 与 p 是否遗漏，最后检查 ωe 与 ωm 的换算关系。