2. SynRM 数学模型

同步磁阻电机（SynRM）的转子没有永磁体，也没有励磁绕组，转矩完全来自交直轴磁路磁阻差异所产生的磁阻转矩。要完成参数辨识与磁链建模，第一步必须把物理量之间的数学关系写清楚：在 abc 三相静止坐标系中，电压、磁链、电流都是随时间变化的交流量，且电感矩阵随转子位置周期变化；通过 Park 变换进入 dq 旋转坐标系后，交流量变为直流量，电感矩阵对角化，模型才便于控制器实现和参数提取。本节围绕这两套坐标系，梳理电压方程、磁链方程与转矩方程，并说明它们与后续辨识工作的接口关系。

一、abc 坐标系：物理直观但强耦合

在 abc 三相静止坐标系下，SynRM 的定子电压方程由电阻压降与磁链变化率构成。由于转子凸极效应，定子三相自感与互感均随转子电角度 θ_r 呈 2θ_r 周期变化，因此三相之间不是解耦的，磁链方程中会出现随位置变化的电感矩阵。

u_a = R_s·i_a + dψ_a/dt
u_b = R_s·i_b + dψ_b/dt
u_c = R_s·i_c + dψ_c/dt

[ψ_a]   [L_aa(θr)  L_ab(θr)  L_ac(θr)] [i_a]   [ψ_fa]
[ψ_b] = [L_ba(θr)  L_bb(θr)  L_bc(θr)] [i_b] + [ψ_fb]
[ψ_c]   [L_ca(θr)  L_cb(θr)  L_cc(θr)] [i_c]   [ψ_fc]

其中 R_s 为定子相电阻，ψ_fa、ψ_fb、ψ_fc 为永磁磁链分量。对 SynRM 而言，转子无永磁体，该分量理论上为零，但实际中可能因材料剩磁或测量偏置而存在微小偏置，辨识时通常作为可选项处理。abc 坐标系的优点是物理意义直接、便于与实测三相电压电流对应；缺点是电感矩阵时变且耦合，直接用于控制器设计会带来大量三角函数运算，因此工程上几乎不直接使用。

二、dq 坐标系：解耦后的核心模型

通过 Park 变换，将三相量投影到随转子同步旋转的 dq 轴上。d 轴取转子磁阻最小的方向（直轴），q 轴取磁阻最大的方向（交轴）。变换后，SynRM 的电压方程与磁链方程显著简化：

u_d = R_s·i_d + dψ_d/dt − ω_e·ψ_q
u_q = R_s·i_q + dψ_q/dt + ω_e·ψ_d

ψ_d = L_d(i_d, i_q)·i_d
ψ_q = L_q(i_d, i_q)·i_q

T_e = (3/2)·p·(ψ_d·i_q − ψ_q·i_d)
    = (3/2)·p·(L_d − L_q)·i_d·i_q   （线性磁路近似）

式中 ω_e 为电角速度，p 为极对数。电压方程中的 ω_eψ_q 与 ω_eψ_d 是旋转反电势交叉耦合项，它们体现了 dq 轴之间的能量交换。磁链方程表明，d 轴磁链主要由 i_d 建立，q 轴磁链主要由 i_q 建立，但实际铁芯存在交叉饱和，L_d 与 L_q 都是 i_d、i_q 的二元函数，这正是参数辨识需要重点处理的对象。

三、从方程到辨识：参数关系与数据流

参数辨识的目标，是从可测的电压、电流、转速数据中反推出 R_s、L_d(i_d,i_q)、L_q(i_d,i_q) 以及磁链曲线 ψ_d(i_d,i_q)、ψ_q(i_d,i_q)。dq 电压方程提供了最直接的观测通道：在稳态下，dψ/dt 项为零，方程退化为代数关系，便于用最小二乘拟合；在动态下，则需借助积分或状态观测器处理微分项。下图给出从 abc 采样到 dq 参数提取的整体数据流与方程接口。

四、典型场景与常见误区

在工程实践中，dq 模型最常见的用途有三类：一是电流环设计，需要 L_d、L_q 作为前馈解耦参数；二是无位置传感器控制，需要磁链模型估算转子位置；三是效率优化，需要根据磁链曲线寻找最小铜耗工作点。以一台 5.5 kW、4 极 SynRM 为例，若在额定工况下测得 i_d=8 A、i_q=12 A、L_d=0.12 H、L_q=0.035 H，则按线性公式估算转矩约为 1.5×2×(0.12−0.035)×8×12 ≈ 24.5 N·m。但实际铁芯饱和会使 L_d 在大电流下明显下降，若仍用空载电感值计算，转矩误差可能超过 15%。