3. 数学模型
同步磁阻电机（SynRM）的转子没有永磁体，也没有励磁绕组，转矩完全来自“磁阻最小路径”效应。要把它控制好，第一步不是写代码，而是把物理量写成可计算的数学关系。本节沿着“三相静止 → 两相静止 → 两相旋转”的坐标变换主线，建立电压方程、磁链方程和转矩方程，为后续 FOC 与 MTPA 提供模型基础。
一、三相静止坐标系（ABC）下的原始方程
在三相静止坐标系中，定子三相绕组电压方程可写为：
uA = Rs·iA + dψA/dt
uB = Rs·iB + dψB/dt
uC = Rs·iC + dψC/dt磁链方程体现互感与自感：
ψA = LA(θ)·iA + MAB(θ)·iB + MAC(θ)·iC
ψB = MBA(θ)·iA + LB(θ)·iB + MBC(θ)·iC
ψC = MCA(θ)·iA + MCB(θ)·iB + LC(θ)·iC由于转子凸极，所有自感和互感都随转子位置角 θ 周期变化，方程是时变系数微分方程。直接在三相系下设计控制器非常困难，因此必须做坐标变换。
二、两相静止坐标系（αβ）下的方程
通过 Clarke 变换，把三相量投影到正交的 α、β 轴。对于三相对称无中线系统，变换可写为：
iα = (2/3)(iA − 0.5·iB − 0.5·iC)
iβ = (2/3)((√3/2)·iB − (√3/2)·iC)电压与磁链方程形式变为：
uα = Rs·iα + dψα/dt
uβ = Rs·iβ + dψβ/dt
ψα = Lαα(θ)·iα + Lαβ(θ)·iβ
ψβ = Lβα(θ)·iα + Lββ(θ)·iβαβ 系下电感矩阵仍然是 θ 的函数，但已从 3×3 降为 2×2，且不再含零序分量。它适合做磁链观测和坐标变换的中间站，但仍不便于直接做转矩控制。
三、两相旋转坐标系（dq）下的方程
再经 Park 变换，把 αβ 量旋转到与转子磁场同步的 dq 轴。定义 d 轴为磁阻最小方向（电感最大 Ld），q 轴为磁阻最大方向（电感最小 Lq）。此时电感变为常数，方程大幅简化：
ud = Rs·id + dψd/dt − ωe·ψq
uq = Rs·iq + dψq/dt + ωe·ψd
ψd = Ld·id
ψq = Lq·iq其中 ωe 为电角速度。把磁链代入电压方程，得到常用的 dq 电压方程：
ud = Rs·id + Ld·did/dt − ωe·Lq·iq
uq = Rs·iq + Lq·diq/dt + ωe·Ld·id转矩方程由磁共能对机械角求导得到，对于 SynRM：
Te = (3/2)·p·(Ld − Lq)·id·iq其中 p 为极对数。该式说明：转矩由凸极差 (Ld − Lq) 和 id·iq 共同决定。若 id 或 iq 为零，转矩为零；若 Ld = Lq，则退化为隐极电机，无法产生磁阻转矩。
四、参数关系与物理意义
三个坐标系不是三套独立模型，而是同一物理对象的三种表达。下表对比它们的适用场景：
| 坐标系 | 变量 | 电感特性 | 主要用途 |
|---|---|---|---|
| ABC | iA,iB,iC / ψA,ψB,ψC | L(θ) 时变，3×3 矩阵 | 物理建模、故障分析 |
| αβ | iα,iβ / ψα,ψβ | L(θ) 时变，2×2 矩阵 | 磁链观测、Clarke 中间量 |
| dq | id,iq / ψd,ψq | Ld、Lq 常数 | FOC、MTPA、电流环设计 |
关键参数关系：Ld 对应 d 轴磁路，气隙小、磁阻小、电感大；Lq 对应 q 轴磁路，气隙大、磁阻大、电感小。凸极比 Ld/Lq 越大，同样电流下可产生的磁阻转矩越大。转矩公式中的 (Ld − Lq) 是电机的“转矩基因”，id 与 iq 是控制自由度。
五、案例：从三相采样到转矩计算
假设某 SynRM 参数为 Rs = 0.5 Ω，Ld = 80 mH，Lq = 20 mH，p = 2，电角速度 ωe = 314 rad/s。控制器采样到三相电流后，按以下流程计算：
- Clarke 变换：由 iA、iB、iC 得到 iα、iβ；
- Park 变换：由 θe 得到 id、iq；
- 磁链计算：ψd = Ld·id，ψq = Lq·iq；
- 转矩计算：Te = 1.5 × 2 × (0.08 − 0.02) × id × iq = 0.18·id·iq。
若 id = 10 A、iq = 15 A，则 Te = 0.18 × 10 × 15 = 27 N·m。若把 id 降到 5 A、iq 升到 20 A，Te = 0.18 × 5 × 20 = 18 N·m，转矩反而下降。这说明 id 与 iq 的分配直接影响输出能力，也是 MTPA 要解决的问题。
六、常见误区与复盘
- 误区一：把 Ld 和 Lq 当成恒定值。 实际电机受饱和影响，Ld、Lq 随电流变化，大电流下凸极差会减小，转矩公式需用饱和后的电感值修正。
- 误区二：忽略交叉饱和。 d 轴电流会改变 q 轴磁路饱和程度，严格模型应包含 Ldq 交叉项，高精度控制中需查表补偿。
- 误区三：认为 id 越小越好。 磁阻转矩需要 id 与 iq 同时存在，id 为零则转矩为零；id 过大又会增加铜耗并压缩电压余量。
- 误区四：坐标变换系数混用。 等幅值变换与等功率变换的系数不同，转矩公式中的 3/2 或 √3/2 必须与变换定义一致，否则转矩计算会整体偏差。
复盘来看，SynRM 的数学模型可以浓缩为三句话：ABC 系描述物理，αβ 系过渡观测，dq 系用于控制。电压方程给出电流动态，磁链方程给出电感关系，转矩方程给出控制目标。后续 FOC 的电流环、MTPA 的电流分配，都建立在本节 dq 方程之上。