3. 数学模型
同步磁阻电机（SynRM）的转子没有永磁体，也没有励磁绕组，转矩完全来自“磁阻最小路径”效应。要把它控制好，尤其是要在高速区做弱磁扩速，第一步必须把物理量写成可计算的数学关系。本节围绕三套坐标系——静止三相 abc、静止两相 αβ、旋转两相 dq——梳理电压方程、磁链方程与转矩方程，并说明它们之间的变换关系，为后续的电流分配与弱磁控制打下基础。
一、为什么需要三套坐标系
abc 坐标系对应电机真实的三相绕组，物理意义最直观，但三相变量互相耦合、随转子位置周期变化，直接用来设计控制器非常困难。αβ 坐标系通过 Clarke 变换把三相压缩成两相正交分量，仍然固定在定子上，适合描述空间矢量与磁动势分布。dq 坐标系则通过 Park 变换把坐标轴“绑”在转子上：d 轴对准磁阻最小的方向（通常为转子凸极轴线），q 轴与之正交。在 dq 坐标系下，稳态时电流、电压都是直流量，控制器设计最方便，也是弱磁算法实际运行的坐标系。
三者的关系可以概括为：abc → αβ 是幅值或功率不变的降维变换，αβ → dq 是随转子电角度 θr 旋转的旋转变换。理解这条链路，才能看懂后面所有方程为什么长成那个样子。
二、abc 坐标系下的方程
在 abc 坐标系中，定子三相电压方程写成矩阵形式：
[ua] [Rs 0 0 ] [ia] d [ψa]
[ub] = [0 Rs 0 ] [ib] + ── [ψb]
[uc] [0 0 Rs] [ic] dt[ψc]
磁链： [ψa ψb ψc]ᵀ = Ls(θr) · [ia ib ic]ᵀ其中 Ls(θr) 是随转子位置变化的三相电感矩阵，对角元为自感，非对角元为互感。由于 SynRM 的转子凸极，自感与互感都含有 2θr 的周期分量，导致方程是时变系数的。转矩方程在 abc 下可写成磁共能对机械角度的偏导：
Te = (1/2)·p·[ia ib ic] · ∂Ls(θr)/∂θr · [ia ib ic]ᵀ这个式子虽然严格，但几乎无法直接用于实时控制，因此工程上只把它作为推导起点。
三、αβ 坐标系下的方程
对 abc 变量做 Clarke 变换（幅值不变型）：
[iα] [ 1 −1/2 −1/2 ] [ia]
[iβ] = (2/3)·[ 0 √3/2 −√3/2 ] [ib]
[ic]变换后电压与磁链方程形式简洁：
uα = Rs·iα + dψα/dt
uβ = Rs·iβ + dψβ/dt
ψα = Lα(θr)·iα + Lαβ(θr)·iβ
ψβ = Lαβ(θr)·iα + Lβ(θr)·iβ注意 αβ 下电感矩阵仍然含 2θr 项，只是从 3×3 降为 2×2。转矩可写成叉乘形式：
Te = 1.5·p·(ψα·iβ − ψβ·iα)αβ 坐标系的价值在于：它是空间矢量 PWM 和磁链观测器的天然舞台，很多无位置传感器算法都在这里估计 ψα、ψβ。
四、dq 坐标系下的方程（控制核心）
Park 变换把 αβ 旋转到转子坐标系：
[id] [ cosθr sinθr] [iα]
[iq] = [−sinθr cosθr] [iβ]在 dq 坐标系下，SynRM 的磁链方程极为简洁，因为 d 轴与 q 轴解耦：
ψd = Ld·id
ψq = Lq·iq电压方程出现旋转反电势项 ωe·ψ：
ud = Rs·id + Ld·did/dt − ωe·Lq·iq
uq = Rs·iq + Lq·diq/dt + ωe·Ld·id稳态时忽略电阻压降和电流微分项，可得到弱磁分析最常用的简化式：
ud ≈ −ωe·Lq·iq
uq ≈ +ωe·Ld·id
电压约束： ud² + uq² ≤ Umax²
电流约束： id² + iq² ≤ Imax²转矩方程在 dq 下只有一个乘积项：
Te = 1.5·p·(Ld − Lq)·id·iq由于 Ld > Lq，要让 Te 为正，id 与 iq 必须同号（通常都取正）。这也解释了为什么 SynRM 需要较大的 d 轴电流来“建立”磁链，而弱磁时正是要削减这个 id。
五、三套坐标系方程对照
| 项目 | abc 坐标系 | αβ 坐标系 | dq 坐标系 |
|---|---|---|---|
| 坐标性质 | 三相静止 | 两相静止 | 两相旋转 |
| 电感矩阵 | 3×3，含 2θr | 2×2，含 2θr | 对角，Ld、Lq 为常数 |
| 电压方程 | 时变系数 | 含 2θr 耦合 | 含 ωe·ψ 旋转项 |
| 转矩表达式 | 磁共能偏导 | ψα·iβ − ψβ·iα | 1.5p(Ld−Lq)id·iq |
| 典型用途 | 物理建模、仿真验证 | 磁链观测、SVPWM | 电流环、弱磁控制 |
六、案例：从 abc 到 dq 的一次完整计算
设某 SynRM 参数为 Rs = 0.5 Ω，Ld = 45 mH，Lq = 12 mH，p = 2，额定电流 10 A。在转速对应 ωe = 300 rad/s 时，控制器给定 id = 6 A、iq = 8 A。按 dq 方程计算：
ψd = Ld·id = 0.045 × 6 = 0.27 Wb
ψq = Lq·iq = 0.012 × 8 = 0.096 Wb
ud ≈ −ωe·Lq·iq = −300 × 0.012 × 8 = −28.8 V
uq ≈ +ωe·Ld·id = +300 × 0.045 × 6 = +81.0 V
|u| = √(28.8² + 81.0²) ≈ 86.0 V
Te = 1.5 × 2 × (0.045 − 0.012) × 6 × 8 ≈ 4.75 N·m若母线电压只能提供 70 V，则 |u| = 86 V 已超出电压极限，必须减小 id 或 iq。弱磁策略通常优先减小 id，因为 id 直接决定 d 轴磁链，减小它能让电压极限椭圆重新容纳当前工作点，从而把转速继续提高。
七、常见误区与复盘
- 误区一：把 SynRM 当成隐极机。若令 Ld = Lq，转矩公式直接归零。SynRM 的一切都建立在凸极比 Ld/Lq 上，建模时必须保留 Ld ≠ Lq。
- 误区二：在 abc 下直接设计弱磁。abc 方程是时变的，弱磁判断条件（电压极限）在 abc 下难以写成简洁形式，应统一到 dq 下处理。
- 误区三：忽略磁路饱和。Ld 在大电流下会明显下降，若用常数 Ld 计算弱磁轨迹，高速区实际转矩会低于预期。高精度场合应使用 Ld(id, iq) 查表。
- 误区四：混淆 ωe 与机械角速度。电压方程中的旋转项使用电角速度 ωe = p·ωm，漏乘极对数会导致弱磁点判断错误。
复盘来看，三套坐标系并不是三套独立理论，而是同一物理对象的三种表达。abc 用于理解，αβ 用于观测，dq 用于控制。把 dq 下的磁链、电压、转矩三个方程记牢，并清楚电压极限与电流极限两个约束，就具备了进入弱磁扩速策略设计的全部数学前提。