3. 运动规划概述
在伺服电机的实际应用中，运动规划（Motion Planning）是连接“期望运动”与“实际执行”之间的核心桥梁。无论是简单的点位搬运，还是复杂的轮廓加工，控制系统都需要回答三个基本问题：要去哪里？走什么路径？以怎样的速度变化到达？ 本章作为运动规划的基础章节，将系统梳理点到点运动与连续轨迹的本质区别，并深入解析速度规划与加速度规划在伺服系统中的角色与实现逻辑。理解这些基本概念，是后续掌握S曲线与多项式规划算法的必要前提。
3.1 点到点运动（Point-to-Point, PTP）
3.1.1 核心原理
点到点运动是最基础的运动形式，其核心特征在于只约束起点和终点的位置（或姿态），而对中间路径的形状不做任何限制。在PTP模式下，伺服系统从A点运动到B点，中间经过的轨迹可能是直线、弧线甚至是不规则的曲线，这完全取决于各轴电机的运动合成。典型的应用场景包括：PCB钻孔机的快速定位、贴片机的取放动作、自动化装配线的搬运工序等。
从控制角度看，PTP运动的核心任务是协调各轴的运动时间，使得所有轴同时到达目标位置。这要求运动规划器为每个轴分配独立的运动参数（如最大速度、加速度），但必须保证各轴的运动总时间一致。若各轴独立规划而不考虑时间同步，则会出现“先到轴等待后到轴”的现象，降低效率；若强行同步，则可能使某些轴超出其动力学能力。
3.1.2 判断方法与操作流程
在实际工程中，判断一个应用是否适合采用PTP运动，可以从以下三个维度进行考量：
- 路径约束性：若中间路径存在障碍物或需要避让，则不能使用PTP，必须改用连续轨迹规划。
- 工艺要求：若工艺过程对路径有明确要求（如涂胶轨迹、切割轮廓），则PTP不适用。
- 效率优先性：若仅需快速到达目标点且无路径约束，PTP通常比CP更高效，因为其速度规划可以更激进。
PTP运动规划的标准流程如下：
- 确定起点坐标与终点坐标（各轴位置）。
- 根据各轴的最大速度、最大加速度计算各轴独立的最短运动时间。
- 取所有轴中最长的运动时间作为同步时间基准。
- 对非基准轴重新规划速度曲线，使其在相同时间内完成运动。
- 输出各轴的位置-时间序列，交由伺服驱动器执行。
3.1.3 案例拆解：双轴龙门平台的PTP同步
考虑一个双轴龙门平台，X轴行程800mm，Y轴行程500mm。某次搬运任务要求从(100, 50)移动到(700, 400)，X轴最大速度1m/s，最大加速度5m/s²；Y轴最大速度0.8m/s，最大加速度4m/s²。
首先计算各轴独立运动时间。X轴位移600mm，按梯形速度规划（加速-匀速-减速），理论最短时间约为0.8s（加速0.2s，匀速0.4s，减速0.2s）。Y轴位移350mm，理论最短时间约为0.65s（加速0.2s，匀速0.25s，减速0.2s）。
由于X轴所需时间更长，以0.8s为同步基准。Y轴需要重新规划：将最大速度降低至约0.55m/s，使得加速段0.14s、匀速段0.52s、减速段0.14s，总时间恰好为0.8s。这样两轴同时到达目标点，避免了等待浪费。
3.1.4 常见误区与总结
- 误区一：认为PTP就是直线运动。实际上PTP不约束路径，直线运动只是PTP的一种特例（当各轴按比例同步运动时）。
- 误区二：忽略各轴动力学差异。强行同步可能导致弱轴过载或振动。
- 误区三：认为PTP不需要速度规划。即使路径自由，速度规划仍然决定运动效率和冲击水平。
总结而言，PTP的核心价值在于效率优先，适用于无路径约束的快速定位场景。其规划重点在于多轴时间同步与动力学匹配。
3.2 连续轨迹运动（Continuous Path, CP）
3.2.1 核心原理
连续轨迹运动要求伺服系统严格按照预设的几何路径运动，路径上的每一个点都是被约束的。与PTP不同，CP运动不仅关注起点和终点，更关注中间路径的精确性。典型的CP应用包括：数控机床的轮廓加工、激光切割的图形扫描、机器人弧焊的焊缝跟踪等。
CP运动的核心技术是插补（Interpolation）。运动规划器将期望路径离散化为一系列密集的插补点，然后通过速度规划为每个插补点分配时间戳，生成位置-时间序列。插补点的密度直接影响路径精度：点越密，路径越平滑，但计算量也越大。现代伺服系统通常采用1ms或更短的插补周期。
3.2.2 判断方法与操作流程
判断是否需要CP运动，主要看以下条件：
- 路径形状是否由工艺决定（如圆弧、样条曲线）。
- 路径精度是否影响产品质量（如切割边缘质量、焊缝一致性）。
- 是否存在多轴联动且需要保持特定姿态（如五轴加工）。
CP运动规划的标准流程：
- 解析期望路径的几何描述（直线、圆弧、NURBS曲线等）。
- 根据插补周期将路径离散化为插补点序列。
- 计算每个插补点处的路径曲率、切线方向等几何信息。
- 结合速度规划算法（如S曲线）为每个插补点分配速度值。
- 生成各轴的位置指令序列，下发至伺服驱动器。
3.2.3 案例拆解：圆弧轮廓加工的速度规划
某数控系统需要加工一个半径50mm的1/4圆弧，进给速度要求为120mm/s，最大允许法向加速度为0.5g（约4.9m/s²）。
首先计算圆弧运动所需的法向加速度：a = v²/r = 0.12²/0.05 = 0.288 m/s²，远小于4.9m/s²，因此速度不受曲率限制。但如果半径缩小至5mm，则法向加速度变为2.88 m/s²，接近限制值，此时必须降低进给速度。
实际规划中，系统会在进入圆弧前提前减速，在圆弧中保持恒定速度，在退出圆弧后重新加速。这个“提前减速”的距离需要根据加速度和速度差计算：Δs = (v₁² - v₂²)/(2a)。假设从直线段速度120mm/s减速至圆弧允许速度80mm/s，加速度为500mm/s²，则减速距离为(120²-80²)/(2×500) = 8mm。
3.2.4 常见误区与总结
- 误区一：认为插补点越密越好。过密的插补点会增加计算负担，且受限于伺服环带宽，过密点未必能提升实际精度。
- 误区二：忽略曲率对速度的限制。在高速加工中，曲率半径小的区域必须降速，否则会因离心力过大导致振动或失步。
- 误区三：将CP与PTP的速度规划混用。CP对路径精度有要求，速度规划必须考虑路径几何约束。
总结而言，CP运动的核心价值在于路径精度，适用于对轮廓有严格要求的工艺场景。其规划重点在于插补精度与速度-曲率匹配。
3.3 速度规划与加速度规划
3.3.1 核心原理
速度规划（Velocity Profiling）是指确定运动过程中速度随时间变化规律的算法。其输入是路径长度（或各轴位移）、最大速度、最大加速度等参数，输出是速度-时间曲线。加速度规划（Acceleration Profiling）则是速度规划的延伸，它进一步约束加速度的变化率（即加加速度Jerk），以减小机械冲击。
从数学角度看，速度规划的本质是在约束条件下求解最优时间最优控制问题。最简单的梯形速度规划包含加速段、匀速段、减速段三段；S曲线规划则在加速和减速段引入加加速度限制，使速度曲线更加平滑。加速度规划的核心指标包括：
| 指标 | 定义 | 对系统的影响 |
|---|---|---|
| 最大速度 Vmax | 运动过程中允许达到的最高速度 | 决定运动效率，受电机额定转速和机械强度限制 |
| 最大加速度 Amax | 速度变化率的上限 | 决定启停时间，受电机转矩和负载惯量限制 |
| 最大加加速度 Jmax | 加速度变化率的上限 | 决定冲击和振动水平，受机械刚度和工艺要求限制 |
3.3.2 判断方法与操作流程
选择合适的速度规划算法，需要根据应用场景的优先级进行判断：
- 效率优先：选择梯形规划，运动时间最短，但加速度突变会产生冲击。
- 平稳优先：选择S曲线规划，加加速度受限，机械冲击小，但运动时间略长。
- 精度优先：在CP运动中，需结合路径曲率动态调整速度，通常采用S曲线或多项式规划。
速度规划的标准操作流程：
- 确定运动参数：位移量、Vmax、Amax、Jmax（若使用S曲线）。
- 判断是否达到最大速度：若位移足够，则包含匀速段；若位移较短，则可能只有加速和减速段。
- 计算各阶段的时间与位移：加速段、匀速段、减速段（以及S曲线中的加加速、减加速等子段）。
- 生成速度-时间曲线，并积分得到位置-时间曲线。
- 校验加速度和加加速度是否超限，必要时调整参数。
3.3.3 案例拆解：梯形与S曲线规划的对比
某伺服系统驱动一个质量为10kg的负载，电机最大输出力为100N，要求从静止运动1m后停止。系统最大速度限制为1m/s。
采用梯形规划：最大加速度a = F/m = 100/10 = 10m/s²。加速时间t₁ = v/a = 1/10 = 0.1s，加速距离s₁ = 0.5×10×0.1² = 0.05m。同理减速段相同。匀速段距离s₂ = 1 - 0.05×2 = 0.9m，匀速时间t₂ = 0.9/1 = 0.9s。总时间T = 0.1+0.9+0.1 = 1.1s。
采用S曲线规划（Jmax = 50m/s³）：加加速段时间t₁ = Amax/Jmax = 10/50 = 0.2s，但此时速度仅达到0.5×10×0.2 = 1m/s，恰好达到最大速度。因此没有匀速段，直接进入减加速段。总时间T = 4×0.2 = 0.8s？实际上需要验证位移：加加速段位移 = (1/6)×50×0.2³ = 0.0667m，四段对称，总位移 = 4×0.0667 = 0.267m，远小于1m。因此需要重新计算：在达到最大速度后保持匀速。
重新计算：加加速段0.2s，速度达到1m/s，位移0.0667m；匀速段位移 = 1 - 2×0.0667 = 0.8667m，时间0.8667s；总时间 = 0.2×2 + 0.8667 = 1.2667s。相比梯形规划的1.1s，S曲线耗时增加约15%，但加速度从0突变变为线性变化，机械冲击显著减小。
3.3.4 常见误区与总结
- 误区一：认为加速度规划就是限制加速度大小。实际上，加速度规划更关注加速度的变化率（Jerk），而非仅限制峰值。
- 误区二：忽略负载变化对加速度的影响。负载惯量变化时，实际加速度会偏离规划值，需要引入闭环调整或自适应规划。
- 误区三：在所有场景都使用S曲线。对于短距离快速点动，梯形规划可能更合适，因为S曲线的加加速段会占用过多时间。
总结而言，速度规划与加速度规划是运动控制的核心环节，其目标是在时间最优与运动平滑之间找到平衡点。理解梯形、S曲线及多项式规划的特性，是后续深入学习的基础。