3. 轨迹规划入门

各位同学，欢迎来到第三章。

前两章我们聊了机器人运动学的基础，说白了就是让机器人知道「自己在哪里」。但光知道位置没用，你得让它动起来，而且动得漂亮、动得稳。这就是轨迹规划要干的事。

我个人习惯把轨迹规划比作「给机器人写剧本」。你告诉它起点、终点、中间要经过哪些点，剩下的——怎么加速、怎么减速、走哪条路——都由规划器来安排。今天我们就来拆解这个剧本怎么写。

3.1 关节空间 vs 笛卡尔空间：两条完全不同的路

先问一个问题：你让机器人从A点走到B点，它该怎么走？

答案其实有两种思路。一种是在关节空间里规划，另一种是在笛卡尔空间里规划。这两者的区别，我当年刚入行时也迷糊了好一阵。

3.1.1 关节空间规划

关节空间规划，说白了就是只关心每个关节的角度变化。比如从关节角 (30°, 45°, 90°) 变到 (60°, 30°, 120°)，规划器只负责让每个关节平滑地转过去。

优点很明显：

• 计算量小，实时性好
• 不会出现奇异点问题
• 关节运动自然、平滑

缺点呢？

• 末端轨迹不可控——你根本不知道机器人末端在空间里画了什么线
• 可能撞到障碍物

我在项目中遇到过一件事：用关节空间规划让机器人去抓一个工件，结果末端在中间画了个大圆弧，差点撞到旁边的夹具。嗯，从那以后我就记住了——关节空间规划只管关节，不管末端。

3.1.2 笛卡尔空间规划

笛卡尔空间规划就反过来。它直接控制机器人末端的位姿在三维空间中的路径。比如让末端走一条直线、一个圆弧，或者沿着某个曲面。

优点：

• 末端轨迹精确可控
• 适合焊接、涂胶、铣削等对路径有要求的工艺

缺点：

• 计算量大，需要实时逆解
• 可能遇到奇异点或关节限位

你想想看，笛卡尔空间规划每算一个点，都要做一次逆运动学求解。如果控制器性能不够，很容易掉帧。

3.2 梯形速度曲线：简单但够用

好，路径定下来了。接下来要解决的是：沿着这条路径，速度怎么变？

最简单的方案就是梯形速度曲线。它分为三段：匀加速、匀速、匀减速。形状像个梯形，所以叫这个名字。

// 梯形速度曲线参数计算示例
// 已知：总位移 S，最大速度 Vmax，加速度 A
// 计算加速段位移 Sa = Vmax^2 / (2 * A)
// 如果 Sa * 2 <= S，说明能达到最大速度
// 否则就是三角形曲线（没到最大速度就开始减速了）

float calc_trapezoid_time(float S, float Vmax, float A) {
    float Sa = Vmax * Vmax / (2.0f * A);
    if (2.0f * Sa <= S) {
        // 有匀速段
        float ta = Vmax / A;
        float tc = (S - 2.0f * Sa) / Vmax;
        return 2.0f * ta + tc;
    } else {
        // 三角形曲线
        float ta = sqrtf(S / A);
        return 2.0f * ta;
    }
}

梯形曲线的好处是简单、直观、计算量小。我早期做码垛机器人时，用的就是梯形曲线。但有个问题——加速度在切换点处有突变。你想想看，从加速突然变成匀速，加速度瞬间归零，这会产生冲击力。

3.3 S形曲线：平滑但复杂

为了解决梯形曲线的加速度突变问题，S形曲线出现了。它把加速度也做了平滑处理——加速度本身也是连续变化的。

S形曲线有七段：加加速、匀加速、减加速、匀速、加减速、匀减速、减减速。听着复杂，但效果确实好。

// S形曲线位置计算（简化版）
// 输入：时间 t，总时间 T，总位移 S
// 输出：当前位置 s(t)

float s_curve(float t, float T, float S) {
    float tau = t / T;  // 归一化时间
    // 使用三次多项式实现S形
    if (tau < 0.5f) {
        return 2.0f * S * tau * tau;
    } else {
        return S * (1.0f - 2.0f * (1.0f - tau) * (1.0f - tau));
    }
}

为什么叫S形？因为速度曲线看起来像字母S的拉长版。加速度从0开始慢慢增加，到中间再慢慢减小，整个过程没有突变。

3.4 两种规划 + 两种曲线 = 四种组合

关节空间和笛卡尔空间是「走哪条路」，梯形和S形是「怎么走」。组合起来就是四种方案：

组合	适用场景	我的评价
关节空间 + 梯形	简单搬运、点对点运动	入门级，够用但别要求太高
关节空间 + S形	码垛、装配	平衡之选，我常用
笛卡尔空间 + 梯形	直线焊接、简单涂胶	注意加速度突变可能影响焊缝质量
笛卡尔空间 + S形	精密加工、高速高精度轨迹	效果最好，但调参最麻烦

我个人习惯是：能选S形就选S形，除非控制器实在跑不动。至于关节空间还是笛卡尔空间，看工艺要求——对路径有要求就笛卡尔，没要求就关节空间，省事。

3.5 本章知识体系

下面这张图帮你理清本章的核心逻辑：

嗯，这张图把本章的核心逻辑串起来了。你从最上层开始，先选路径规划方式，再选速度曲线，最后组合出适合你项目的方案。