3. 电机电流特征分析数学工具
电机定子电流是一个随时间变化的单变量信号，但它内部同时叠加了电源基波、转子槽谐波、偏心与断条引起的边带、轴承缺陷产生的冲击调制等多种成分。要把这些成分从时域波形中分离出来并映射到具体故障，必须借助一组数学工具。本节不推导公式，而是从“每种工具解决什么问题、输入输出是什么、在电流特征提取中如何落地”的角度，建立工具与故障特征之间的对应关系。
一、傅里叶变换：稳态特征的频率坐标
离散傅里叶变换（DFT/FFT）把长度为 N 的时域采样序列 x[n] 映射为频域复数序列 X[k]，其物理意义是：把信号分解为一系列频率为 k·fs/N 的复指数分量，幅值 |X[k]| 表示该频率成分的强度，相位表示其相对时间参考的偏移。对电机电流而言，FFT 是“稳态特征”的基准工具——当转速、负载在分析窗内基本不变时，故障特征频率会以稳定的谱线或边带形式出现。
实际使用中有三个关键参数必须与故障频率匹配。第一是采样率 fs，按奈奎斯特准则应大于关注最高频率的 2 倍，工程上常取 5～10 kHz 以覆盖数千赫兹的轴承与槽谐波成分。第二是分析点数 N，它决定频率分辨率 Δf = fs/N；若要分辨工频 50 Hz 附近间隔仅 0.5～2 Hz 的断条边带，Δf 应优于 0.2 Hz，例如 fs = 5 kHz、N = 32768 时 Δf ≈ 0.153 Hz。第三是窗函数，矩形窗频率泄漏大，汉宁窗可压低旁瓣，代价是主瓣展宽约 1.5 倍，需在分辨率与泄漏之间权衡。
以一台 4 极、50 Hz 供电的笼型异步电机为例，同步转速 1500 r/min，假设实测转速 1440 r/min，转差率 s = 0.04。转子断条会在供电频率两侧产生 (1±2s)f₁ 的边带，即 46 Hz 与 54 Hz。若 FFT 谱中 50 Hz 主峰两侧出现明显边带，且边带幅值与主峰幅值之比随负载升高而增大，就构成断条的典型证据。这里需要强调：FFT 给出的是整个分析窗内的平均结果，它无法回答“边带是持续存在还是仅在某个时刻出现”。
二、短时傅里叶变换：把频谱沿时间展开
短时傅里叶变换（STFT）在 FFT 前加一个随时间滑动的窗 w[n−m]，得到二维时频矩阵 S(m,k)。它回答的是“某个频率成分在什么时刻出现、持续多久、强度如何变化”。对电机电流，STFT 特别适合分析启动过程、负载突变、间歇性轴承冲击等非稳态现象。
STFT 的核心矛盾是时间分辨率与频率分辨率的折中：窗长越长，频率分辨率越高但时间定位越模糊；窗长越短则相反。工程上常取窗长对应 0.1～0.5 s。例如分析启动过程时，转子频率从 50 Hz 滑落到接近 0，若用 0.2 s 窗，可在时频图上看到一条从高频向低频倾斜的能量脊线，其斜率反映启动加速度，脊线的连续性则反映转子回路是否完好。若某段脊线突然中断或出现额外分支，往往对应断条或高阻连接。
三、包络分析：从调制中还原冲击
轴承缺陷、齿轮啮合等故障在电流中表现为高频载波被低频冲击调制，直接看 FFT 往往只看到一堆边带，难以定位。包络分析的处理链是：带通滤波选取包含故障共振的频带 → 希尔伯特变换求解析信号 → 取模得到包络 → 对包络再做 FFT。这样，原本被载波“藏起来”的低频冲击重复频率就会在包络谱中显现。
以轴承外圈缺陷为例，假设外圈故障特征频率 BPFO ≈ 104 Hz。若电流信号在 2～4 kHz 频带内存在被 104 Hz 调制的成分，直接 FFT 会在 2～4 kHz 附近看到间隔 104 Hz 的边带族；而包络谱会在 104 Hz 及其谐波 208 Hz、312 Hz 处出现清晰峰值。判断时不仅看峰值是否存在，还要看谐波是否成系列、峰值是否随转速变化而按比例移动——这是区分轴承缺陷与电磁干扰的重要依据。
四、Park 矢量与瞬时功率：把三相电流变成可诊断的轨迹
Park 变换把三相电流 ia、ib、ic 投影到两相旋转坐标：
id = (2/3)·[ia·cosθ + ib·cos(θ−120°) + ic·cos(θ+120°)]
iq = (2/3)·[−ia·sinθ − ib·sin(θ−120°) − ic·sin(θ+120°)]当电机健康、三相平衡时，id 与 iq 为直流；一旦出现断条、偏心或匝间短路，id、iq 中会出现以 2sf₁ 为特征的振荡，在 id–iq 平面上表现为一个被“压扁”或“扭曲”的椭圆。健康电机的 Park 矢量轨迹接近圆，故障时椭圆度增大，且椭圆长轴方向与故障类型相关。瞬时功率 p = va·ia + vb·ib + vc·ic 则进一步把电压与电流的乘积作为观测量，断条引起的 (1±2s)f₁ 边带会在瞬时功率谱中以 2sf₁ 的单一低频峰出现，比电流谱中的边带更集中、更易识别。
五、工具选择与配合原则
五种工具并非互相替代，而是覆盖不同的信号形态。稳态、周期性强的特征优先用 FFT；启动、变速、负载波动等非稳态过程用 STFT；被高频载波调制的冲击类故障用包络分析；三相不平衡、断条、偏心等与相序和旋转坐标相关的故障用 Park 矢量与瞬时功率。实际诊断中常见的做法是先用 FFT 做全频段普查，发现可疑边带后用 STFT 确认其时间行为，再用包络分析或瞬时功率做针对性验证。