3. 卷绕张力建模基础

卷绕张力控制的核心难点在于：卷径在运行中持续变化，而张力、线速度与电机转矩之间又存在强耦合。如果只凭经验调PID，往往在卷径变化范围大、加减速频繁的工况下出现张力波动。要建立可复现的控制策略，必须先建立三个基础模型：张力—速度—转矩关系、卷径计算模型、卷绕动力学简化方程。本节围绕这三个模型展开，并给出可直接用于控制器参数整定的计算示例。

一、张力—速度—转矩关系

先约定符号与方向：设放卷侧为A轴，收卷侧为B轴；线速度方向为薄膜从A流向B；张力T定义为薄膜单位宽度上的拉力（N/m），工程中也常用总张力F（N）。卷绕过程中，薄膜线速度v（m/min）与卷筒角速度ω（rad/s）满足：

v = ω · R
其中 R 为当前卷径（m），ω = 2πn/60，n 为转速（r/min）

张力与转矩的关系由力矩平衡给出。对收卷轴，电机输出转矩M必须克服三部分：薄膜张力产生的阻力矩、卷筒及卷芯的惯性矩、以及摩擦与弯曲损耗。忽略损耗时，张力与转矩的基本关系为：

M = T · R
若用总张力 F：M = F · R

这个式子说明一个关键事实：在张力恒定的前提下，转矩必须随卷径线性增大。例如目标张力F=200 N，卷径从0.15 m增大到0.60 m，所需转矩从30 N·m增大到120 N·m，变化4倍。若控制器仍按初始卷径输出转矩，张力会随卷径增大而下降，出现“越卷越松”的现象。因此，卷径计算是张力控制的前置条件。

二、卷径计算模型

卷径无法直接测量时，常用两种方法：线速度—角速度比值法、卷材累积厚度法。两者可互为校验。

方法一：线速度—角速度比值法。由 v = ωR 可得 R = v/ω。实际系统中，线速度由牵引辊或测速辊编码器给出，角速度由卷轴编码器给出。为避免单点噪声，通常对R做一阶低通滤波：

R_raw = v / ω
R_filt(k) = α · R_filt(k-1) + (1-α) · R_raw
α 取 0.90～0.98，对应时间常数约 0.1～0.5 s

方法二：卷材累积厚度法。设卷芯半径R0，薄膜厚度h，已卷绕长度L，则卷径满足面积关系：

π(R² - R0²) = h · L
R = sqrt(R0² + h·L/π)

其中L由线速度积分得到：L = ∫v dt。该方法在低速段和启动阶段更稳定，但依赖厚度h的准确性；h受薄膜压缩、层间滑移影响，长期运行会累积误差。工程上常以方法一为主、方法二为限幅校验：当两者偏差超过5%时报警并切换至方法二，防止编码器打滑导致卷径估算发散。

三、卷绕动力学简化方程

把收卷轴视为刚体转动，动力学方程为：

<code>M_motor - M_tension - M_friction = J · dω/dt
M_tension = F · R
J = J0 + (π·ρ·b/2)·(R⁴ - R0⁴)
其中 J0 为卷芯与轴系惯量，ρ 为薄膜密度，b 为幅宽

将M_tension = F·R代入并整理，得到张力动态方程：

F = (M_motor - J·dω/dt - M_friction) / R

这个简化方程揭示了三个扰动源：电机转矩波动、加减速引起的惯性转矩J·dω/dt、以及卷径R的变化。其中惯性项在加速阶段尤为显著。举例说明：设J=0.8 kg·m²，加速时间0.5 s内角速度从0升到10 rad/s，则dω/dt=20 rad/s²，惯性转矩为16 N·m。若卷径R=0.3 m，这部分惯性转矩等效为约53 N的张力扰动。如果控制器不做前馈补偿，加速瞬间张力会明显跌落。

因此，实际张力控制通常采用“前馈+反馈”结构：前馈项按F_ref·R + J·(dω/dt)计算电机转矩基准，反馈项用张力传感器或卷径观测器修正残差。前馈负责抵消卷径变化和加减速的可预测扰动，反馈只处理摩擦、材料差异等慢变或不可测扰动，两者分工明确，可显著降低对反馈带宽的要求。

四、模型联立与参数整定示例

把三个模型联立，可以得到一个可用于工程整定的计算流程。以下示例参数均为教学假设值，不代表任何实际设备实测结果。

按上述参数，满卷时J约为：J = 0.05 + (π×1400×1.2/2)×(0.60⁴ − 0.075⁴) ≈ 0.05 + 2639×0.1296 ≈ 342 kg·m²。可见满卷惯量远大于卷芯惯量，加速阶段的惯性转矩不可忽略。若要求在2 s内从静止加速到5 m/s，满卷时ω = v/R = 5/0.60 ≈ 8.33 rad/s，dω/dt ≈ 4.17 rad/s²，惯性转矩约1426 N·m，等效张力扰动约2377 N，远超目标张力200 N。这说明大卷径、高加速度工况下，前馈补偿不是可选项，而是必需项。

整定顺序建议为：先根据R_max和F_ref确定电机转矩上限，确保M_max ≥ F_ref·R_max + J_max·(dω/dt)_max；再整定卷径滤波系数α，使R_filt在卷径变化时跟踪滞后不超过允许误差；最后整定反馈增益，使残差在0.5～2 s内收敛。若反馈增益过高，会与卷径滤波滞后耦合，产生周期性张力振荡，此时应降低反馈带宽或提高卷径观测器响应速度。

掌握这三个模型后，后续的张力补偿策略、卷径观测器设计、加减速前馈曲线都可以在此基础上展开。建模的价值不在于公式本身，而在于它把“卷径变化—转矩需求—张力波动”之间的因果链显式化，使每一个控制参数都有明确的物理依据，而不是靠试凑。