2. 多段张力系统建模

多段张力系统建模的核心任务，是把一条连续运行的料带（薄膜、纸张、金属箔、纤维束等）沿走带路径切分为若干可独立描述的张力区段，并建立各区段张力、速度与驱动转矩之间的数学关系。只有先完成区段划分，才能进一步写出张力传递方程与速度耦合方程，最终形成可用于控制器设计或仿真验证的模型。本节围绕“怎么划分、怎么传递、怎么耦合、边界怎么定、假设怎么简化”五个问题展开。

一、张力区段划分：以辊为界，以驱动为锚

区段划分的基本原则是：相邻两个张力隔离点之间的料带构成一个张力区段。张力隔离点通常包括主动辊（驱动辊）、制动辊、张力辊（ dancer 或 load cell 辊）、夹送辊以及压辊。若两辊之间料带长度较长且中间无隔离元件，则该段张力近似均匀，可视为一个集中参数区段。

划分时需明确三类边界：

• 驱动边界：电机通过辊面摩擦向料带输入或吸收能量，该处速度由电机决定，张力由相邻区段张力差决定。
• 张力检测边界：张力辊或测张传感器所在位置，提供张力反馈信号，通常作为区段张力的观测点。
• 自由边界：放卷轴、收卷轴或裁切/复合工位，张力由卷径、惯量和外部工艺决定。

以一条典型的“放卷—牵引—张力辊—牵引—收卷”五辊四段系统为例，可划分为：放卷段 T1、第一牵引段 T2、张力检测段 T3、第二牵引段 T4、收卷段 T5。其中 T2 与 T3 之间由张力辊隔离，T3 与 T4 之间由第二牵引辊隔离。每个区段对应一个独立的张力状态变量，区段数量即为模型阶数的基本来源。

二、张力传递关系：从胡克定律到段间耦合

对第 i 个区段，设料带弹性模量为 E，截面积为 A，区段长度为 L_i，入口速度 v_{i-1}，出口速度 v_i。根据料带微元应变关系，区段张力 T_i 的动态方程为：

dT_i/dt = (E·A / L_i) · (v_i - v_{i-1}) + (T_i / L_i) · (v_{i-1} - v_i)

在工程中，当速度变化远小于料带弹性波传播速度时，第二项可忽略，得到常用的线性化张力传递方程：

dT_i/dt ≈ (E·A / L_i) · (v_i - v_{i-1})

该式表明：区段张力的变化率正比于该段出口速度与入口速度之差。若出口速度大于入口速度，料带被拉伸，张力上升；反之张力下降。这一关系是后续速度耦合方程的基础，也是张力闭环控制中“速度差产生张力”这一物理直觉的数学表达。

三、速度耦合方程：驱动辊速度与料带速度的映射

每个驱动辊的线速度由电机角速度与辊径决定：v_i = ω_i · R_i。对于主动辊，辊面与料带之间假设无滑动，则料带速度等于辊面线速度。对于被动辊，料带速度由前后区段张力差与辊惯量共同决定，需引入力矩平衡：

J_i · dω_i/dt = (T_{i+1} - T_i) · R_i - B_i · ω_i - T_load

其中 J_i 为辊与电机折算惯量，B_i 为粘性阻尼系数，T_load 为负载转矩。将速度关系代入张力方程，即可得到以电机角速度为输入、以各区段张力为状态的多变量耦合模型。对于 n 段系统，状态向量为 [T_1, T_2, …, T_n]^T，输入向量为各驱动辊角速度，输出向量为各张力检测点信号。

四、边界条件与简化假设

建模时必须明确以下边界条件：

• 放卷边界：放卷张力 T_1 由放卷制动转矩或放卷电机转矩决定，卷径 R_u 随时间变化，需引入卷径观测或卷径计算模型。
• 收卷边界：收卷张力 T_n 由收卷电机转矩与卷径共同决定，收卷过程中卷径增大，需同步调整转矩以维持张力恒定。
• 中间辊边界：若中间辊为被动辊，则其两侧张力差驱动辊加速或减速，速度不独立；若为主动辊，则速度由电机给定，张力由前后段耦合决定。

常用简化假设包括：料带在区段内张力均匀、无横向褶皱；辊面与料带间无滑动；料带弹性模量在工况范围内为常数；忽略料带重力与空气阻力；电机电流环带宽远高于张力环，可近似为转矩源。这些假设在低速、薄型料带、小张力波动场景下误差较小，但在高速、大卷径变化或料带塑性变形明显时需修正。

五、建模示例：五辊四段系统的参数与状态

以某薄膜生产线为例，设定示例参数（均为合理假设，非实测）：E = 2.0 GPa，A = 0.5 mm × 1000 mm = 5×10⁻⁴ m²，各段长度 L₁ = 1.2 m、L₂ = 0.8 m、L₃ = 1.0 m、L₄ = 1.5 m。放卷辊半径 R_u = 0.15 m，收卷辊半径 R_w = 0.12 m，牵引辊半径 R₁ = R₂ = 0.10 m。目标张力 T₁ = 120 N、T₂ = 150 N、T₃ = 150 N、T₄ = 180 N、T₅ = 180 N。

根据张力方程，稳态时 dT_i/dt = 0，要求各段入口速度等于出口速度，即 v₀ = v₁ = v₂ = v₃ = v₄。这意味着稳态下所有驱动辊线速度必须一致，张力由各辊转矩差维持。若牵引1速度略高于放卷速度，则段1张力上升；若牵引2速度略低于牵引1，则段2张力下降。实际调试中，通常先建立速度同步，再通过微调速度差或转矩限幅来建立目标张力。

完成上述建模后，即可将模型用于张力控制器设计。常见的做法是：以速度差为内环、张力为外环，或采用前馈加反馈的复合控制。模型阶数等于区段数，区段划分越细，模型越精确，但控制器整定也越复杂。工程中通常根据张力检测点数量和主要扰动源位置，选择 3～6 段即可满足大多数薄膜、纸张和箔材生产线的控制需求。