2. 坐标系与坐标变换：地理坐标系、机体坐标系、欧拉角与四元数、坐标变换矩阵

各位同学，欢迎来到第二章。这一章的内容，说白了就是无人机自主飞行的“空间语言”。你想想看，如果飞机连自己在哪、头朝哪都说不清楚，那还谈什么自主飞行？

我个人习惯把坐标系和坐标变换比作无人机的“世界观”。它必须理解两个世界：一个是地球这个固定的参考世界，另一个是它自己身体所处的动态世界。这两个世界之间的翻译官，就是欧拉角、四元数和坐标变换矩阵。

2.1 地理坐标系：无人机的“世界地图”

地理坐标系，也叫导航坐标系，是固定在地球上的。我们通常用 NED 坐标系，也就是北-东-地。

• X轴（N）：指向地理北极
• Y轴（E）：指向正东
• Z轴（D）：指向地心（也就是向下）

为什么Z轴要向下？嗯，这里要注意：这是为了符合右手定则，而且对于飞行器来说，高度信息通常用负的Z值表示，计算起来更直观。我在项目中遇到过新手把Z轴搞反，结果飞机一解锁就往地里钻，还好在地面测试，不然就炸机了。

还有一种叫 ENU 坐标系（东-北-天），常用于机器人领域。但在无人机航测和任务规划里，NED 是绝对的主流。

坐标系	X轴	Y轴	Z轴	典型应用
NED	北	东	地	无人机导航、PX4/ArduPilot
ENU	东	北	天	ROS、地面机器人

2.2 机体坐标系：无人机的“身体感知”

机体坐标系是固定在无人机上的，随飞机一起运动。原点通常在飞机的重心。

• X轴：指向机头方向（前进方向）
• Y轴：指向飞机右侧（右翼方向）
• Z轴：指向飞机下方（符合右手定则）

你想想看，无人机上的IMU（惯性测量单元）测量的加速度和角速度，都是基于这个机体坐标系的。而GPS给出的位置和速度，是基于地理坐标系的。所以，这两个坐标系之间必须建立联系。

2.3 欧拉角：直观但“有坑”的姿态描述

欧拉角是描述机体坐标系相对于地理坐标系旋转关系的三个角度：偏航角（Yaw）、俯仰角（Pitch）、横滚角（Roll）。

• 偏航角（ψ）：绕Z轴旋转，机头指向。
• 俯仰角（θ）：绕Y轴旋转，机头抬升或下降。
• 横滚角（φ）：绕X轴旋转，机身左右倾斜。

欧拉角非常直观，看一眼就知道飞机大概是什么姿态。但是，它有一个著名的缺陷——万向锁（Gimbal Lock）。当俯仰角达到 ±90° 时，偏航和横滚的旋转轴会重合，导致丢失一个自由度。

2.4 四元数：稳定且高效的姿态“救星”

四元数是一个超复数，由四个元素组成：q = w + xi + yj + zk。它没有万向锁问题，而且计算效率高，非常适合计算机处理。

说白了，四元数就是用四个数来描述一个旋转。它比欧拉角多了一个维度，所以能避免奇异性。

四元数和欧拉角可以互相转换。这里给出一个常用的转换公式（从四元数到欧拉角）：

// 四元数转欧拉角（弧度）
roll  = atan2(2*(w*x + y*z), 1 - 2*(x*x + y*y))
pitch = asin(2*(w*y - z*x))
yaw   = atan2(2*(w*z + x*y), 1 - 2*(y*y + z*z))

2.5 坐标变换矩阵：连接两个世界的“桥梁”

坐标变换矩阵，也叫旋转矩阵，是一个 3x3 的矩阵。它可以将一个向量从一个坐标系变换到另一个坐标系。

从机体坐标系到地理坐标系的旋转矩阵 R 可以由欧拉角或四元数构造。例如，使用欧拉角时，旋转矩阵是三个基本旋转矩阵的乘积：

R = Rz(yaw) * Ry(pitch) * Rx(roll)

其中：

• Rz(yaw) 是绕Z轴的旋转矩阵
• Ry(pitch) 是绕Y轴的旋转矩阵
• Rx(roll) 是绕X轴的旋转矩阵

这个矩阵有什么用？举个例子：无人机上的加速度计测量的是机体坐标系下的加速度，但我们需要的是地理坐标系下的加速度来计算速度和位置。这时候，只需要将测量值乘以旋转矩阵 R 即可。

2.6 知识体系总览

下面这张图，是我自己总结的坐标系与坐标变换的知识体系。你可以把它当作一张地图，随时回来查阅。

2.7 实践中的选择建议

在实际项目中，如何选择？我个人的经验是：

1. 人机交互界面：使用欧拉角。因为直观，操作员一眼就能看懂飞机的姿态。
2. 飞控内部运算：使用四元数。避免万向锁，计算稳定。
3. 坐标转换：使用旋转矩阵。将四元数或欧拉角转换为矩阵，然后进行向量变换。