2. 向量距离度量：选对尺子，才能量准距离

做向量检索这些年，我最大的感触就是：距离度量选错了，后面的索引结构再精妙也白搭。说白了，你用什么尺子量距离，直接决定了哪些向量会被认为是“相似的”。

这一章咱们就把六种最常见的距离度量掰开揉碎讲清楚。我会从数学原理讲到适用场景，再穿插一些我在项目中踩过的坑。

2.1 欧氏距离：最直观的"直线距离"

欧氏距离就是你在初中几何课上学过的两点间直线距离。公式很简单：

d(x, y) = sqrt(Σ(xi - yi)²)

说白了，就是把两个向量每个维度上的差值平方，加起来再开根号。

适用场景：

• 连续型稠密向量，比如图像特征、音频特征
• 各维度量纲一致的数据
• 需要保留向量"大小"信息的场景

2.2 余弦相似度：只看方向，不看大小

余弦相似度衡量的是两个向量之间的夹角。公式：

cos(θ) = (x · y) / (||x|| × ||y||)

结果范围在 [-1, 1] 之间。1 表示方向完全一致，-1 表示方向相反。

你想想看，文本向量化之后，文档长度差异很大，但内容可能很相似。这时候用欧氏距离就不太合适了——长文档和短文档的模长差异会干扰判断。余弦相似度正好解决这个问题。

适用场景：

• 文本检索、语义相似度
• 用户画像、推荐系统
• 任何需要忽略向量模长的场景

2.3 曼哈顿距离：城市街区的走法

曼哈顿距离也叫 L1 距离。想象你在曼哈顿街头，不能穿楼而过，只能沿着街道走。公式：

d(x, y) = Σ|xi - yi|

它和欧氏距离的区别在哪？欧氏距离是"直线过去"，曼哈顿距离是"沿着坐标轴走"。高维空间里，曼哈顿距离对异常值没那么敏感。

适用场景：

• 稀疏向量、高维数据
• 推荐系统中的协同过滤
• 特征维度含义独立、可解释性强的场景

2.4 点积：带方向的相似度

点积就是对应元素相乘再求和：

x · y = Σ(xi × yi)

点积同时考虑了方向和模长。两个向量方向越一致、模长越大，点积越大。

我个人习惯在推荐系统的排序阶段用点积。为什么？因为用户向量和物品向量的模长本身就包含了"偏好强度"的信息，点积能把这个信息保留下来。

适用场景：

• 未归一化的向量
• 推荐系统中的矩阵分解
• 注意力机制中的 score 计算

2.5 Jaccard 相似度：集合的交并比

Jaccard 相似度不是算向量坐标的，它算的是集合的重叠程度：

J(A, B) = |A ∩ B| / |A ∪ B|

范围 [0, 1]。0 表示没有交集，1 表示完全重合。

用在向量上时，通常先把向量二值化（比如用户有没有购买某商品），然后算交集大小除以并集大小。

适用场景：

• 标签系统、分类数据
• 购物篮分析
• 文档去重（用 shingling 技术）

2.6 汉明距离：二进制向位的差异计数

汉明距离统计的是两个等长字符串（或二进制向量）在对应位置上不同字符的个数。公式很简单：

d(x, y) = count of positions where xi ≠ yi

比如 10110 和 10010，只有第 3 位不同，汉明距离就是 1。

适用场景：

• 二进制向量、哈希编码
• 错误检测与纠正
• LSH（局部敏感哈希）中的近邻搜索

2.7 六种度量对比一览

度量	数学本质	取值范围	对模长敏感	典型场景
欧氏距离	L2 范数	[0, +∞)	是	图像、音频特征
余弦相似度	夹角余弦	[-1, 1]	否	文本、语义检索
曼哈顿距离	L1 范数	[0, +∞)	是	稀疏数据、协同过滤
点积	内积	(-∞, +∞)	是	推荐排序、注意力
Jaccard	交并比	[0, 1]	不适用	集合、标签数据
汉明距离	位差异计数	[0, d]	不适用	二进制哈希、纠错

2.8 实战选型建议

说了这么多，到底怎么选？我总结了几条经验：

1. 先看数据类型：连续稠密向量优先考虑欧氏或余弦；稀疏向量试试曼哈顿；二进制向量用汉明；集合数据用 Jaccard。
2. 再看业务需求：要区分"大小"（比如文档长度）就用欧氏或点积；只看"内容相似"就用余弦。
3. 最后考虑性能：点积和曼哈顿计算比欧氏快（没有平方根）；汉明距离可以用位运算加速。