2. 动力系统建模基础

DeepONet 要学的是“函数到函数”的映射，而动力系统恰好提供了最自然的映射来源：给定一个初值、边界条件或外部输入函数，系统会演化出一条状态轨迹或一个时空场。要把这条映射关系讲清楚，先得把动力系统的数学描述方式梳理一遍——用什么方程描述、条件加在哪里、状态如何组织、典型系统长什么样。这一节的目标不是推导解法，而是建立一套“看到物理问题就能写出算子学习目标”的判断框架。

一、ODE 与 PDE：两种描述尺度

常微分方程（ODE）描述的是状态随时间变化、空间维度被集中或忽略的系统。一般形式可写为

du/dt = f(u, t; θ),  u(t₀) = u₀

其中 u 是有限维状态向量，θ 是系统参数。振子、电路、化学反应器、多体机械系统都属于这一类。ODE 的解是一条随时间演化的轨迹 u(t)，输入是初值 u₀ 和参数 θ，输出是整条轨迹。

偏微分方程（PDE）则保留空间分布，状态是时空场 u(x, t)。典型形式如热传导方程 u_t = α u_xx、反应扩散方程 u_t = D u_xx + R(u)、Navier–Stokes 方程等。PDE 的解是一个定义在时空域上的场，输入除了初值 u(x,0) 之外，还包括边界条件、源项、系数场（如扩散系数 D(x)、速度场）。

这个区别直接决定了 DeepONet 的输入输出形状：ODE 场景下分支网络接收初值向量或参数向量，主干网络接收时间坐标 t；PDE 场景下分支网络往往接收初值场或边界条件场的采样，主干网络接收时空坐标 (x, t)。

二、初值问题与边值问题

仅有方程不足以确定解，必须附加定解条件。初值问题（IVP）在 t = t₀ 处给定 u(t₀) = u₀，适合描述“从某个初始状态出发向前演化”的过程，振子、混沌系统、化学反应动力学都是 IVP。边值问题（BVP）则在空间边界上给定条件，例如一维稳态热传导中 u(0) = T_L、u(L) = T_R，或者更一般的 Neumann、Robin 条件。

对算子学习而言，IVP 与 BVP 的差别体现在“哪些量是输入函数”：IVP 中初值函数 u₀(x) 是典型的分支输入；BVP 中边界函数 g(x) 或边界通量是分支输入。很多工程问题同时含初值和边界条件，此时分支网络需要同时编码两类函数，通常做法是把它们拼接成多通道输入，或在分支网络内部用两个子分支分别处理再融合。

三、状态空间表示

高阶 ODE 可以化为一阶系统。以阻尼振子 m u'' + c u' + k u = F(t) 为例，令 x₁ = u、x₂ = u'，得到

dx₁/dt = x₂
dx₂/dt = -(k/m) x₁ - (c/m) x₂ + F(t)/m

写成向量形式 dx/dt = A x + B F(t)，状态 x ∈ ℝ²。状态空间表示的价值在于：它把“系统当前的全部信息”压缩成一个向量，未来演化只依赖这个向量和输入，这就是马尔可夫性。对 DeepONet 来说，状态向量是天然的有限维输入；对 PDE，状态空间是无穷维函数空间，实际实现时通过离散网格或模态截断变成有限维。

状态空间还揭示了参数的角色：A、B 中的 m、c、k 是系统参数，改变参数会改变整个解算子。若希望一个 DeepONet 同时覆盖多个参数取值，参数应作为分支网络的额外输入通道，而不是固定在某一个训练集里。

四、典型动力系统案例

振子。无阻尼简谐振子 u'' + ω²u = 0 的解是正弦振荡，周期由 ω 决定；加阻尼后振幅指数衰减；加周期驱动力后可能出现共振。振子适合作为入门案例，因为解的行为直观、参数影响清晰，可以先用它验证 DeepONet 是否能学到“初值 → 轨迹”的映射。

反应扩散系统。一维形式 u_t = D u_xx + R(u)，其中 R(u) 常取 Logistic 型 R(u) = r u(1 - u)。这类系统能产生行波、斑图、front 传播等结构。对算子学习而言，扩散系数 D、反应速率 r、初值分布 u₀(x) 都是可变的输入函数或参数，输出是 u(x,t)。

流体。以不可压 Navier–Stokes 为例，状态是速度场和压力场，输入包括初速度场、边界速度、外力。流体问题的解算子维度高、非线性强，是检验 DeepONet 表达能力的重要场景，通常需要配合降维或分块策略。

五、把物理问题翻译成算子学习目标

下面这张图把本节的核心逻辑串起来：从方程类型和定解条件出发，确定输入函数与输出场，再落到 DeepONet 的分支/主干结构上。

以阻尼振子为例走一遍这个流程：方程 m u'' + c u' + k u = F(t)，取 m = 1、k = 4、c = 0.3，初值 u(0) = u₀、u'(0) = 0，这是 IVP。状态向量 x = (u, u')，分支输入是 u₀（若同时变化 c，则 c 也进入分支），主干输入是 t，输出是 u(t)。训练数据可由数值积分生成：对 u₀ 在 [0.5, 2.0] 内取若干采样点，每个 u₀ 用四阶 Runge–Kutta 以 dt = 0.01 积分到 T = 10，得到一组轨迹。DeepONet 学习的是“u₀ ↦ u(·)”这个解算子，训练完成后对区间内新的 u₀ 直接前向预测，无需重新积分。

再看一维反应扩散：u_t = D u_xx + r u(1 - u)，x ∈ [0, 1]，边界取零通量，初值 u₀(x) 为分段常数。这里分支输入是 u₀(x) 在若干传感器点上的采样值（例如均匀取 50 个点），主干输入是 (x, t)。若 D 和 r 也作为可变参数，则把它们归一化后拼接到分支输入末尾。输出是 u(x,t)，训练标签来自有限差分求解器在网格上的解。

六、本节要点回顾

• ODE 给出轨迹型解，PDE 给出场型解，二者决定主干网络的输入是 t 还是 (x, t)。
• IVP 的典型输入是初值函数，BVP 的典型输入是边界函数；混合问题需同时编码两类输入。
• 状态空间表示把高阶系统化为一阶向量系统，状态向量是有限维分支输入的自然来源。
• 振子、反应扩散、流体分别代表低维轨迹、时空斑图、高维非线性场三类学习难度，适合由易到难组织实验。
• 把物理问题翻译成算子学习目标的关键动作：识别已知函数、识别查询坐标、确定输出场，再对应到分支/主干网络。

完成这一节的梳理后，后续搭建 DeepONet 时就有了明确的输入输出约定：分支网络接收什么、主干网络接收什么、标签从哪里来、泛化边界在哪里。这些约定会在数据生成、网络设计和误差评估各环节反复用到。