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神经算子学习与算子映射入门

共计 30 章节

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课程导入与算子映射问题界定

从物理场到函数空间 · 明确神经算子要学习的映射对象 · 输入输出函数空间

课程导入算子映射问题界定

函数空间与算子基础

回顾巴拿赫空间 · 希尔伯特空间 · 索伯列夫空间的基本概念

函数空间算子基础

经典算子数值离散回顾

有限差分 · 有限元与谱方法如何将连续算子离散为矩… · 分析离散化误差与计算复杂度对学习任务…

经典算子数值离散…有限差分

神经算子核心思想与统一视角

对比传统神经网络与神经算子的本质差异 · 阐述算子学习的三类范式——积分核方法 · 谱方法与注意力方法——及其共同逼近目…

神经算子核心思想统一视角

DeepONet分支-主干结构

剖析分支网络与主干网络分别编码输入函… · 推导输出表达式 · 讨论其万能逼近性质与实现要点

DeepONet训练与泛化实践

在一维常微分方程与扩散方程上构建数据… · 定义损失函数 · 训练DeepONet

傅里叶神经算子（FNO）谱卷积原理

从卷积定理出发推导谱域乘法算子 · 解释FNO如何通过截断傅里叶模态实现… · 并讨论其离散不变性

FNO傅里叶神经算子

FNO架构实现与调参

搭建FNO层（傅里叶变换 · 线性变换 · 逆变换

FNO架构实现

图神经算子与不规则网格

针对非结构网格数据 · 介绍图神经网络消息传递作为算子学习骨… · 讨论图核积分与图傅里叶变换的算子逼近…

图神经算子不规则网格

注意力机制作为算子逼近器

将自注意力解释为积分算子的蒙特卡洛近… · 分析Transformer类模型在函…

注意力机制作为算…将自注意力解释为…

算子学习的损失函数与评估指标

比较相对L2误差 · H1误差 · 物理残差损失与对抗损失

算子学习的损失函…评估指标

数据生成与实验设计

针对具体PDE问题 · 讨论数值求解器选择 · 网格分辨率

数据生成实验设计

一维Burgers方程算子学习实战

从数据生成到FNO/DeepONet… · 完成训练与测试全流程 · 分析不同粘性系数下的泛化表现与失败模…

二维Darcy流问题实战

处理高维输入输出场 · 比较FNO与DeepONet在渗透率… · 讨论分辨率泛化与边界处理

时间依赖问题的算子学习

将时空算子映射分解为自回归推进与时间… · 介绍傅里叶神经算子时间推进格式与稳定…

时间依赖问题的算…将时空算子映射分…

多尺度与多物理场算子学习

针对具有多尺度特征的问题 · 讨论多分辨率架构 · 小波神经算子与多尺度傅里叶神经算子的…

多尺度多物理场算子学习

物理约束与守恒律嵌入

将PDE残差 · 守恒律与边界条件作为软约束或硬约束融… · 提升数据效率与物理一致性

物理约束守恒律嵌入

算子学习的少样本与迁移学习

研究在少量高保真数据下 · 通过预训练 · 元学习与多保真融合实现算子映射迁移的…

算子学习的少样本迁移学习

不确定性量化与误差估计

介绍贝叶斯神经算子 · 深度集成与共形预测在算子学习输出不确… · 并讨论误差来源分解

不确定性量化误差估计

算子学习的可解释性与诊断

通过谱分析 · 核函数可视化与敏感性分析理解神经算子… · 诊断过拟合与频谱偏差问题

算子学习的可解释…诊断

大规模训练与加速技术

讨论混合精度 · 分布式训练 · GPU内存优化与傅里叶变换加速库在神…

大规模训练加速技术

神经算子部署与推理优化

将训练好的算子模型导出为推理引擎格式 · 优化批处理与低精度推理 · 评估实际部署中的延迟与吞吐

神经算子部署推理优化

算子学习在流体力学中的应用案例

以Navier-Stokes方程为例 · 构建湍流或绕流问题的算子代理模型 · 分析其相对于传统CFD求解器的加速比…

算子学习流体力学

算子学习在材料与地质中的应用案例

针对多孔介质流动或复合材料应力分析 · 设计从微观结构到宏观响应的算子映射 · 讨论数据获取与特征工程

算子学习材料

算子学习在控制与反问题中的应用

将神经算子作为正演代理嵌入优化循环 · 求解参数反演与最优控制问题 · 分析代理误差对优化结果的影响

算子学习控制

算子映射的泛化理论初步

介绍算子学习的逼近误差 · 统计误差与优化误差分解 · 讨论分辨率泛化与分布偏移下的理论保证…

算子映射的泛化理…介绍算子学习的逼…

离散不变性与分辨率泛化

深入分析FNO与DeepONet的离… · 设计跨分辨率测试实验 · 讨论插值策略与架构修改对泛化的影响

离散不变性分辨率泛化

神经算子与传统数值方法混合

探索算子学习作为预条件器 · 粗网格校正或子网格模型与有限元/有限…

神经算子传统数值方法混合

基准评测与可复现研究

基于公开算子学习基准（如PDEBen… · NeuralOperator库） · 设计公平对比实验

基准评测可复现研究

课程综合项目

自选一个实际算子映射问题 · 完成数据生成 · 模型选型

课程综合项目自选一个实际算子…